3.1.1 空间向量及其加减运算教案推荐

3．1.1

空间向量及其加减运算

[学习目标]

1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及运算律，理解向量减法的几何意义．

知识点一

空间向量

(1)空间向量的定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

(2)空间向量及其模的表示方法

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点→→是B，则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (3)特殊向量

名称

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

知识点二

空间向量的加法、减法

类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：

定义及表示

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 模为1的向量叫做单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

→→→OB＝OA＋AB＝a＋b；

→→→CA＝OA－OC＝a－b.知识点三

空间向量加法的运算律

空间向量的加法运算满足交换律及结合律：

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

题型一

空间向量的概念

例1

判断下列命题的真假．

(1)空间中任意两个单位向量必相等；

(2)方向相反的两个向量是相反向量；

(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(4)向量AB与BA的长度相等．

解

(1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．

(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．

(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．

→→(4)真命题．因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的．

反思与感悟

空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．

跟踪训练1

如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，

→(1)试写出与AB相等的所有向量；

→(2)试写出AA1的相反向量；

→(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．

→→→→解

(1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个．

→→→→→(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. →(3)|AC1|＝3.

题型二

空间向量的加减运算

→例2

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是(

)

→→→①A1D1－A1A－AB；

→→→②BC＋BB1－D1C1；

→→→③AD－AB－DD1；

→→→④B1D1－A1A＋DD1. A．①②

C．③④

答案

A →→→→→→解析

(1)A1D1－A1A－AB＝AD1－AB＝BD1；

→→→→→→(2)BC＋BB1－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1；

→→→→→→→→→(3)AD－AB－DD1＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1；

→→→→→→→→→(4)B1D1－A1A＋DD1＝BD＋AA1＋DD1＝BD1＋AA1≠BD1，故选A. 反思与感悟

运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：

(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．

→跟踪训练2

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的是________(填序号)．

B．②③

D．①④

→→→→→→→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1. 答案

①②③④

→→→→→→→→→→→→解析

①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；→→→→→→→→→→→→③(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以所给四

→个式子的运算结果都是AC1. 题型三

空间向量加减运算的应用

→→→→例3

已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

证明

∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→→→→→→→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，

→→→→→→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′) →→→＝2(AB＋AD＋AA′)．

→→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，

→→→→→→→→→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′，

→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′. 反思与感悟

利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．

跟踪训练3

在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段．

→→→→→→(1)AB＋AD＋AA1；(2)AB＋CC1－DD1. 解

如图．

→→→→→→(1)AB＋AD＋AA1＝AC＋CC1＝AC1. →→→(2)AB＋CC1－DD1

→→→→→→＝AB＋BB1－AA1＝AB1－AA1＝A1B1. →→图中AC1，A1B1为所求.

1．两个非零向量的模相等是两个向量相等的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

B 解析

a＝b⇒|a|＝|b|；|a|＝|b|D⇒/a＝b. →2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量A′B′的模相等的向量有(

) A．7个

B．3个

C．5个

D．6个

答案

A →→→→→→解析

|D′C′|＝|C′D′|＝|DC|＝|CD|＝|BA|＝|AB| →→＝|B′A′|＝|A′B′|. 3．下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

→→→D．在四边形ABCD中，一定是AB＋AD＝AC

答案

B 解析

若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故A不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B正确；空间向量的减法不满足结合律，故C不正确；在▱ABCD中，→→→才有AB＋AD＝AC，故D不正确．故选B. →→4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，→→AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是(

) B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

11A．－a＋b＋c

2211C．－a－b＋c

22答案

A →→→1→→→解析

BM＝BB1＋B1M＝(AD－AB)＋AA1

211＝－a＋b＋c. 2211B.a＋b＋c

2211D.a－b＋c

22

5．下列命题中正确的个数是________．

①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；

②两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若a，b，c为任意向量，则(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；

④空间任意两个非零向量都可以平移到同一个平面内．

答案

3 解析

由单位向量的定义知|a|＝|b|＝1，故①正确；因相等向量不一定有相同的起点和终点，所以②错误；由向量加法运算律知③正确；在空间确定一点后，可将两向量的起点移至该点，两向量所在直线确定一个平面，这两个非零向量就共同在这个平面内，故④正确．

1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．

2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．

一、选择题

1．下列命题中，假命题是(

) A．任意两个向量都是共面向量

B．空间向量的加法运算满足交换律及结合律

C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等

答案

D 解析

容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．

→→→→2．已知空间四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，AD＝c，则CD等于(

) A．a＋b－c

C．c＋a－b

答案

B 解析

如图，

B．c－a－b

D．c＋a＋b

→→→→∵AB＋BC＋CD＋DA＝0. →即a＋b＋CD－c＝0，

→∴CD＝c－a－b. 3．下列各命题：

①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

④有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为(

) A．2

C．4

答案

B 解析

①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．

ab4．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(

) |a||b|A．a＝－b

C．a＝2b

答案

C 解析

aba表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有|a||b||a|B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b| B．3 D．5 b＝，观察选择项易知C满足题意．

|b|→1→→→→→5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1E＝A1C1，AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则(

) 41A．x＝1，y＝

21C．x＝，y＝1

2答案

D →→→→1→解析

∵AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1

4→1→→1→→＝AA1＋AC＝AA1＋(AB＋AD)，

441∴x＝1，y＝.故选D. 41B．x＝1，y＝

31D．x＝1，y＝

4

→→→→6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF＝AD＋mAB－nAA1，则m，n的值分别是(

) 11A.，－

2211C．－，

22答案

A →→→→1→→解析

由于AF＝AD＋DF＝AD＋(DC＋DD1) 2→1→1→＝AD＋AB＋AA1，

2211所以m＝，n＝－，故选A. 227．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是(

) →→→→A.EB＋BF＋EH＋GH＝0 →→→→B.EB＋FC＋EH＋GE＝0 →→→→C.EF＋FG＋EH＋GH＝0 →→→→D.EF－FB＋CG＋GH＝0 答案

B 解析

易知四边形EFGH为平行四边形，

→→→→→→→→所以EB＋FC＋EH＋GE＝EB＋BF＋GE＋EH

→→＝EF＋GH＝0. →→8.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量相等的是(

) 11B．－，－

2211D.，

22

→→A.AD与CB

→→C.AC与DB

答案

D →→→→解析

∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形→→的性质知，DO＝OB.故应选D. →→B.OA与OC

→→D.DO与OB

二、填空题

→→→9.如图，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，→则OE＝______________(用a，b，c表示)．

111答案

a＋b＋c

244→1→1→1→1→1→解析

OE＝OA＋OD＝OA＋OB＋OC

22244111＝a＋b＋c. 24410．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，下列四个式子中计算正确的是________(填序号)．

→→→→→→→→→→→→→①AB－CB＝AC；②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；③AB＋AA′＝DC′；④AB＋BB′＋BC＋→→C′C＝AC′. 答案

①②③

→→→→→解析

①AB－CB＝AB＋BC＝AC，正确；

→→→→→→→②AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AC′，正确；

→→→→③AB＋AA′＝AB′＝DC′，正确；

→→→→→→→→→→④AB＋BB′＋BC＋C′C＝(AB＋BC)＋(BB′＋C′C)＝AC＋0＝AC，错误．

→→→11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果等于________．

→答案

BD1

→→→→→→→→→解析

DD1－AB＋BC＝AA1－AB＋BC＝BA1＋A1D1＝BD1. →→→12．在四边形ABCD中，若AC＝AB＋AD，则四边形ABCD的形状是________．

答案

平行四边形

→→→→→→→解析

∵AC＝AB＋AD，∴AB＋BC＝AB＋AD，

→→∴BC＝AD，∴BC綊AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

三、解答题

13.如图，在四面体ABCD中，E，F，H分别为棱CD，AD，BC的中点，连接BE，DH，交于点G，则G为△BCD的重心，连接AG，HF，化简下列各式：

→1→1→(1)AG＋BE＋CA；

321→→→(2)(AB＋AC－AD)．

2解

(1)如图，连接EF，

∵G是△BCD的重心，

→1→∴|GE|＝|BE|. 31→→又∵CA＝EF，

2∴由向量加法的三角形法则可知

→1→1→AG＋BE＋CA

32→→→＝AG＋GE＋EF

→→→＝AE＋EF＝AF，

→1→1→→即AG＋BE＋CA＝AF. 32(2)如图，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，AH，则四边形APHQ为平行四边形．

1→→1→→→→→∵AB＝AP，AC＝AQ，AP＋AQ＝AH，

221→→AD＝AF，

21→→→1→1→1→∴(AB＋AC－AD)＝AB＋AC－AD

2222

→→→→→→＝AP＋AQ－AF＝AH－AF＝FH.