2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教案1

课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）

一、教学设计

1．教学内容解析

本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。

新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。

基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。

2．学生学情诊断

经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。

基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。

3．教学目标设置

（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；

（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；

（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。

4．教学策略分析

本节课是空间直线、平面垂直的性质第1课时，主要采用教师启发设问、学生探究学习的教学方法。通过回顾旧知，层层递进的讨论交流，引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证的探究过程，探究发现线面垂直和面面垂直的性质定理。同时借助长方体模型、多媒体演示、实物投影仪，帮助学生更好的理解空间位置关系。

整个教学过程中，充分发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，成为课堂的主人；教师对学生进行点拨引导，发挥自身在教学中的主导地位。在完成教学目标的前提下，更好地完成了新课标对课堂教学中学生主体和教师主导的双重要求，可以达到良好的教学效-1-

果。

5. 教学流程设计：

6. 教学过程：

（1）温故知新

类比导入

带领学生复***行和垂直关系，引导学生观察分析平行和垂直关系中判定定理、性质定理的转化方向，类比平行关系的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想。

课件展示：

【评析】回顾已学过的平行和垂直关系的判定和性质定理，为学生搭建判定和性质转化方向的整体框架，帮助学生理清转化关系，引出本节课题。

（2）反思定义

性质初探

为了探究在线面垂直条件下的线线关系，学生回顾线面平行性质定理的发现过程。

课件展示：

【评析】通过分析和类比，使学生明确定义具有双重性，它既是判定也是性质，从定义-2-

出发是探究性质的一种方法。

（3）推理论证

性质再探

直观感知

给出不同背景的生活实例，学生从中举例说明观察到的线面垂直和线线平行关系。 课件展示：

【评析】引导学生从生活实际出发，把学到的知识和身边的现象联系起来，让学生经历从实际背景中抽象出空间图形的过程，培养学生几何直观和空间想象能力。

操作确认

现实世界中的直观感知，放到实物模型中，学生借助长方体验证观察到的空间位置关系。

课件展示：

【评析】发挥长方体作为图形语言载体的作用，在学生的观察发现中，将图形的典型性、简明性、直观性、概括性和趣味性得到了充分表现，激发学生的学习兴趣和求知热情。

经过操作确认，结合猜想，学生尝试图形和数学符号语言的表述，投影展示完成情况。

课件展示：

【评析】-3-

文字语言、图形和符号语言的相互转化，有利于培养学生运用数学语言表达和交流的能力，实现教学目标。

思辨论证

环节一：回顾已经学习过的，证明空间直线与直线平行的方法（学生能提出诸多方法，如线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、公理4等等），给时间学生自主展开证明，交流解法，师生共同分析困难所在。

【评析】从“最近发展区”出发，学生尝试直接论证的方法，体会直接使用定理或公理的困难所在，引发认知冲突，为探求反面考虑的论证思路做铺垫，是突破本节难点的第一步。

环节二：引导学生思考：①空间两条直线的位置关系有哪些？

②要证明空间两条直线平行，其他的位置关系成立吗？

③结合分析，有没有其他证明方法？

【评析】以层层递进提问探究的形式，将论证的难点分化为小问题，在知识的自然生成中逐步化解学生的认知难点。

环节三：假定直线a,b异面或相交，学生再次动笔尝试论证，排除异面与相交的情况。

片刻后，学生展示论证方法。

课堂预设：（绝大部分学生会得到这样的论证过程）当直线a,b异面时，设b过点O作bO，a，则b，b，而过一点作已知平面的垂线有且只有一条，不成立。

教师指出，论证方法貌似是对的，但在这里是错误的。因为该结论的给出是在本节内容之后，所以暂时不能作为结论直接应用，怎样调整证明方法？

引导学生完成：转化到平面中，因为相交直线b,b可确定平面且=l，这样就能

将空间问题转化为平面问题来判断。过平面内一点O有两条直线b,b与l垂直，是不可能的。

当直线a,b相交时：设abP，a,b能确定一个平面，与上述同理，不成立。故ab。

【评析】与老教材不同，新课标教材的唯一性判断是在平面内完成的，使学生体会空间问题向平面问题转化的思想。预设学生论证过程可能出现的问题，为分解本节课难点提供契机。

环节四：动画演示

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引导学生总结反思上述论证过程，有哪些思考和收获？

回答预设：证明几何问题要严谨，多种情况要考虑完整；考虑问题的反面，排除不成立的情况，也是一种证明方法；空间问题平面化等等。教师就学生的交流做点评。

【评析】以学生为主体，将自主探究和思辨说理相结合，引导学生分析和反思论证过程中的认知冲突。教师点到为止，通过学生自发地讨论、作图尝试、调整思路、总结反思，有助于学生对数学思想方法的认识，实现本节难点——线面垂直性质定理论证过程的有效突破，培养学生合情推理和论证推理的能力。

教师指出，论证的结论就是线面垂直的性质定理。同桌交流讨论以下问题： ①该性质定理能帮助我们解决什么问题？

②应用性质定理证明两条直线平行，关键需要有什么条件？

③与之前平行关系之间或垂直关系之间的转化不同，该性质定理的条件是垂直关系，结论是平行关系，你有怎样的体会？

④如果将定理的条件改为“两个平面垂直于同一条直线”，这两个平面的位置关系是怎样？

课件展示：

【评析】分析线面垂直的性质定理，进一步巩固对定理的理解，更好地落实教学目标。

归纳总结线面垂直性质定理的探究过程，从哪几个步骤层层递进展开？

课件展示：

【评析】引导学生总结研究空间几何问题的步骤，承上启下，为学生结合生活实例，类比探究面面垂直的性质做铺垫。

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学生自主填写课前的知识框图：在线面垂直的条件下，得到线线垂直关系和线线平行关系。

教师点评：探究发现性质的过程，就是由定义出发的“降维”转化过程。

课件展示：

【评析】总结空间几何性质的发现过程：一是从定义出发，二是“降维”转化，为后续学生应用线面垂直性质定理的探究经验，类比预测面面垂直的性质明确方向。

4. 合作实践

性质应用

环节一：结合课前预测，引导学生观察所在的教室环境，发现有哪些面面垂直关系？

环节二：由刚才的探究经验，学生带着下面的问题开展分组合作探究：

课件展示：

环节三：分小组展示，学生互动、质疑，教师整理、点评并展示成果。

【评析】开放性自主活动的设置，实质是线面垂直性质定理探究过程的类比应用，既巩固本节课的所学知识，又能引导学生独立开展面面垂直性质的探究，体验性质探究的基本套路。源于生活的实际背景能培养学生的空间观念，激发探究的积极性和创新意识。小组合作探究的组织形式，有利于培养学生的合作学习精神和数学核心素养。

教师指出，面面垂直的性质还有许多，课堂上不再一一分析和论证，留给大家课后继续探

究发现。预设刚才探究得到的其中一个结论就是面面垂直的性质定理，引导学生分析关键条件。

【评析】选取面面垂直的性质定理进行说明，一是使学生感受到学以致用，激发学习热情；二是加深学生对该性质定理关键条件的理解；三是体会定义出发，“降维”探究性质的意义。

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5. 提炼回顾

构建体系

身边的许多空间位置关系都能用今天学习的知识来解释，这就是数学魅力！学生思考：本节课的探究过程中，收获了哪些数学知识和方法？（学生自主总结整理，交流发言）

课件展示：

【评析】探究方法和过程的梳理，帮助学生形成完整的知识体系，有效完成知识建构。

6. 拓展提升

独立再探

（1）结合本小组面面垂直的探究成果，作图、写出相应符号语言，并尝试证明。

（2）观察生活中的面面垂直关系，结合本节课的探究经验，你还能得到其他的结论吗？

【评析】进一步内化学生的认知结构，培养学生的动手实践、独立探究能力，进一步体会数学源于生活、应用于生活的科学价值．

结束语：今天，我们在观察与发现中欣赏垂直的关系，在回顾与类比中探究垂直的性质，在思考与论证中体会垂直的魅力，这才是学习的价值和意义所在，徜徉于知识海洋中的快乐和充实也就蕴育而生……相信你们也有与我一样的体会，期待你们的分享！

板书设计：

空间中直线、平面垂直的性质

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空间直线、平面的位置关系： 线线平行线线垂直判定定理性质定理判定定理从定义出发线面平行线面垂直判定定理从定义出发判定定理性质定理面面平行 面面垂直

转化方法：类比

转化思想：空间问题平面化

探究空间问题的步骤：

直观感知——操作确认——思辨论证

线面垂直的性质定理：

线面垂直

线线平行

探究方法：从定义出发，

“降维”转化

面面垂直的性质定理：

面面垂直

线面垂直

二、教学反思

1. 理解教材

探寻本质

新课标教材立体几何部分的设计，强调借助生活实例和数学模型，通过直观感知、操作确认、思辨论证等认识过程，引导学生多角度、多层次地揭示空间图形的本质；重视合情推理与逻辑推理的结合，注意适度形式化；倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，帮助学生完善

思维结构，发展空间想像能力和创新能力。

直线、平面垂直的性质在空间位置关系中具有一定特殊性，主要体现在两个不同维度：横向比较，垂直关系的性质将线线垂直、线面垂直、面面垂直之间联系起来；纵向比较，垂直关系的性质类比平行关系性质的“降维”转化，同时也蕴含着垂直与平行的内在联系。因此，课前的知识回顾与分析显得尤为重要，能帮助学生从宏观上把握空间位置关系的转化与联系，为探究过程的类比推理和“降维”转化做铺垫。

同样是从实物模型出发，通过直观感知、操作确认进行归纳猜想，不同于判定定理的是，教材对性质定理提出了演绎推理、思辨论证的教学要求。因此，性质定理的论证过程成为教学的难点。本节课中，对两个性质定理论证思路的探究采用不同的方式，线面垂直的性质定理运用层层递进的提问式探究，面面垂直的性质定理则预设由学生自主探究，从定义出发展开。教学实践中，两种探究方式都收到比较好的课堂效果。

2. 理解学生

主动探究

本节课以问题引导学习，通过追问、质疑等方式，铺设适当的认知阶梯，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务，激发学生的学习热情，充分体现问题的功能价值，即通过问题引发学生对原有经验

、知识的回顾（挖掘有什么），通过问题引导学生对目标的审视（探究什么），通过问题启发学生思考（应该怎么做）。聚集学生的知识、能力、注意力等多方面因素，形成合力，使学生获得知识、形成能力。

在线面垂直性质的论证过程中，学生并没有学习反证法的经验，因此，设置四个环节展开探究，从已学***行关系的性质等知识出发，学生主动尝试引发认知冲突，再引导学生总结与反思中调整探究思路，通过自主探究、生生质疑、师生互动，降低思维难度，教学实践中得以有效地突破教学难点。面面垂直的性质探究，是在学生主动观察寻找身边的面面垂直关系中展开的，墙壁与地面、书本与桌面等等，都是熟悉的生活实例，既能帮助学生构建空间垂直关系，又能作为合作探究的背景引导学生发现性质。从而，变传授教材为主要目标为增长经验、发展能力为主要教学目标；变“注入式”教学为启发式、探究式教学；变“讲堂”为“学堂”；变过分强调规范的课堂气氛为生动活泼、主动探索的课堂气氛。

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3. 理解教学

重视过程

重视过程的核心是强调教学过程中的思想性，使学生在课堂中有高度的思维参与，经历实质性的数学思维过程。本节课的教学过程有“两条线”：一条线是直观感知——操作确认——思辨论证的探究过程，借助实景图片、长方体模型、说理论证，使学生经历性质的发现过程；另一条线是从定义出发“降维”以及空间问题平面化的转化思想，通过回顾类比、归纳分析、合作探究，使学生体会转化与化归的数学思想方法。因此，本节课以落实“两条线”为教学设计的主要依据，让学生在感知、体验、思辨、论证过程中有充分的交流思考的时间。在具体教学中，如果教师更加大胆地放手，学生思维火花的碰撞会更生动精彩。

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