习题2.3第二课时教学实录

数学人教A版选修2-1

2.3.2《双曲线的简单几何性质》教学设计

遵化市第一中学 数学组 张淑兰

1.教材中的地位及作用

本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程的基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。

2.教学目标的确定及依据

平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。

（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、通径、离心率、等轴双曲线、渐近线等几何性质；

②掌握双曲线标准方程中a,b,c的几何意义，理解双曲线的渐近线的概念；

③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。

（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，在学习过程中掌握类比的方法；

②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。

3.重点、难点的确定及依据

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对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，我把渐近线的认识作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把通径的推导、离心率、等轴双曲线和渐近线的认识这四个性质作为本节课的重点。

4.教学方法

本节内容类比“椭圆的简单的几何性质”，让学生结合课本和椭圆的笔记自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。

渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把推导过程放到课下阅读课后阅读材料，课上先让学生从初中的反比例函数的渐近线是x轴、y轴入手，先体会渐近线的特征，，再通过几何画板演示随着渐近线的变化，双曲线的变化，进一步清晰图形特征。

二、教学程序

（一）.设计思路

复习椭圆的几何性质 类比

双曲线的几何性质 特有的几何性质（从特殊到一般的规律探索）

双曲线的渐近线 加强应用

深化知识、巩固提高

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（二）.教学流程

1.复习引入

提前让学生把导学案第一页表格填好，让学生一遍回顾椭圆的性质，一边把双曲线的性质能填的填上。

2．观察、类比

类比“椭圆的简单的几何性质”，让学生自己进行探究，结合课本和笔记本归纳总结出双曲线的几何性质。一般学生能用类似于推导椭圆的几何性质的方法得出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，用多媒体演示渐近线对曲线形状的影响，加强学生对双曲线的渐近线的理解。借助于类比方法，引起学生学习的兴趣，激发求知欲。

3.重点点评通径、离心率、等轴双曲线、渐近线

（1）通径的定义及推导

bc2a2c22（2）由等式cab，可得：不难发现：1e1，2aaa222bbe越小（越接近于1），就越接近于0，双曲线开口越小；e越大，就越大，双aa曲线开口越大。所以，双曲线的离心率反映的是双曲线的开口大小。通过对这些性质的探究，就可以更好的理解双曲线图形与这些基本量之间的关系，更加准确的作出双曲线的图形。

（3）对等轴双曲线等价条件的讲解，让学生进一步认识等轴双曲线的特殊性。

（4）通过对渐近线的点评，几何画板的演示，让学生直观看到渐近线的斜率变化对曲线形状的影响，以及对离心率的影响，还有共渐近线的双曲线系的设法。

4. 题组安排

为突出本节内容，使学生尽快掌握刚才所学的知识。我选配了这样的例题：

题组一：求双曲线的基本量

(1)求双曲线

9y24x236

的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程。选题目的在于拿到一个双曲线的方程之后若不是标准式，要先将所

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给的双曲线方程化为标准方程，后根据标准方程分别求出有关量。本题求渐近线的方程的方法：（1）直接根据渐近线方程写出；（2）利用双曲线的图形中的矩形框架的对角线得到。加强对于双曲线的渐近线的应用和理解。

(2).求满足下列条件的双曲线的标准方程：

5①虚轴长12，离心率为

4x2y231的焦点为顶点，渐近线方程为yx

②以椭圆21625选题目的：在已知双曲线的渐近线的前提下，如何利用已知信息求解双曲线的方程。方法1：分焦点在x轴，焦点在y轴分别求解；方法2：确定点所在的区域，定方程的形式，然后求a、b。深化知识，加强应用，使知识系统化。

例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

题组二：求双曲线的离心率

y2x21

的一个焦点为(0，1.双曲线22)，则双曲线的离心率e

2m=____________. x2y22.若椭圆221(ab0)的离心率e =abx2y221(a0,b0)的离心率e =____________. 2ab3，则双曲线23.如图所示，椭圆中心在原点，F为左焦点，A、B为椭圆的顶点，当FBAB时，其离心率为51，此类椭圆叫“黄金椭圆”或“优美椭圆”，类比“黄金椭圆”2可推算出“黄金双曲线”

的离心率e =____________.

4

BAF ox

选题目的：强化求离心率的两个公式，3题引出齐次式求离心率。深化知识，加强应用，使知识系统化。

题组三：双曲线的渐近线

1.求下列双曲线的渐近线方程

(1)4x9y3622y2x2(2)1 493x，则离心率e =____

42.双曲线的渐近线方程为y

3.已知双曲线的渐近线为yx且过点(4,3)的双曲线方程. x2y24. 双曲线221(a0,b0)的两条渐近线均和圆abC：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线方程为__________________. 选题目的：前3道题巩固求渐近线的公式，以及已知渐近线求离心率或标准方程，第4题和圆的切线简单结合。

5.课堂小结

（1）通过本节学习，要求学生熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程，并能简单应用双曲线的几何性质；

（2）双曲线的几何性质总结(学生填表归纳)。

6.课后作业

1.成才之路基础巩固1-8，

课本2.3A组1-5；2.阅读课本62页探究与发现。

（三）.板书设计:

5

双曲线的简单几何性质

双曲线的图形 离心率的第二个公式 等轴双曲线 例题板演

通径的推导过程 渐近线

三

课后反思：

本节课在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用．在多媒体应用上，力求灵活实用，不跟着课件走，使得多媒体真正做到为课堂有效服务．整堂课下来充实流畅，课堂气氛较好．但也存在值得反思和讨论的问题：

1、开始上课时提问的时间有点长，以致后面的题组练习时间有点短，我可以收上来先批阅，课间让学生自己对答案，上课开始就可以直接重点点评了。

2、课本没有给出渐近线的严格定义，只是一种描述，课本在本节末的“探究与发现”解释了渐近线方程。老师讲课怎样处理好呢？。

四

设计理念：

本课是通过与椭圆性质对比，学生自己总结一些简单性质。在多媒体的选用上我选择了导学案和课件共用．利用几何画板观察双曲线的渐近线的变化，充分调动学生的思维，形成以学生为主体的课堂氛围．

以上就是我对于《双曲线的简单几何性质》的教学设计，希望老师们给予批评与指正！

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