3.1.1 变化率问题优秀说课稿

§3．1.1 变化率问题 【学情分析】：

本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：

1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义. 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：

知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义

【教学难点】：

理解掌握物体的瞬时速度的意义

【教学过程设计】：

教学环节

教学活动

1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：

要确定物体在某一点A处的瞬时速度，从A点起取一小段位移AA1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t0，0+Δt，现在问从t0到t0+Δt这段时间内，物体的位移、平均速度各是：

位移为Δs=s(t0+Δt)－s(t0)(Δt称时间增量)

平均速度v设计意图

(1)引入变化率和瞬时速度

为导数概念的引入做铺垫

sst0tst0

tt

根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t0到t0+Δt，这段时间是Δt. 时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0. 当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度

st0tst0瞬时速度vlimvlim

t0t0t所以当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度

1

例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=212gt，其中位移21g(3+2单位m，时间单位s，g=9.8 m/s. 求t=3这一时段的速度. 解：取一小段时间［3，3+Δt］，位置改变量Δs=Δt)－2s11gg(6+Δg·32=(6+Δt)Δt，平均速度v22t2(2)例题讲解

让学生进一步认识瞬时速度为：瞬时速1度，为引vlimvlimg(tt)3g29.4

m/s

t0t02入导数的概念做好由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4 铺垫. m/s

2例2、已知质点M按规律s=2t+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，

t)

(1)当t=2，Δt=0.01时，求s. ts. t(2)当t=2，Δt=0.001时，求(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.

分析：Δs即位移的改变量，Δt即时间的改变量，s即t平均速度，当Δt越小，求出的解：∵

s越接近某时刻的速度. tss(tt)s(t)2(tt)23(2t23)=4t+2tttΔt

∴(1)当t=2，Δt=0.01时，

s=4×2+2×0.01=8.02 cm/s t(2)当t=2，Δt=0.001时，s=4×2+2×0.001=8.002 cm/s t

2

(3)v=limslim(4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s

t0tt0

设函数yf(x)在xx0处附近有定义，当自变量在xx0处有增量x时，则函数yf(x)相应地有增量yf(x0x)f(x0)，如果x0时，y与x的比yy（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个xx常数，我们把这个极限值叫做函数yf(x)在xx0处的导(3) 导数的概念

数，记作y/xx0，即 f(x0)lim/x0f(x0x)f(x0)

x要让学生理解导数概念

注意：(1)函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0

(3)y是函数yf(x)对自变量x在x范围内的平x均变化率.

例3、求y=x在点x=1处的导数. 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求2yy，最后求lim. x0xxy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，

解：Δ

y2x(x)2=2+Δx

xx∴limx0y=lim (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2. xx02注意：(Δx)括号别忘了写. 学生自学教材P75 例1

(1)理解函数的概念。

(4)课堂小结

（2）求函数yf(x)的导数的一般方法：

①求函数的改变量yf(xx)f(x).

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yf(xx)f(x). xxy③取极限，得导数y/＝f(x)lim. x0x②求平均变化率

补充题目：1.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么lims为t0t（ ）

Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；

Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t时物体的速度； Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度

22．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度

s(5t)s(5)(5t)252lim解：瞬时速度v=lim

t0t0ttlim(10+Δt)=10 m/s. t0∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s. 23.质点M按规律s=2t+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度. 22s(2t)s(2)2(2t)3(223)

解：瞬时速度v=limlimt0t0tt=lim(8+2Δt)=8 cm/s. t0

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