2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教学实录

空间直线与平面的位置关系

教学目标

1．掌握空间线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质．

2．掌握空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质．

3．掌握空间异面直线的判定，求解异面直线所成的角．

复习旧知；

1．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(唯一性) 2．如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．(线∥面⇒线∥线) 3．三个平面两两垂直，其交线也两两垂直．(面⊥面⇒线⊥线) 4．两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面．(线∥线⇒线⊥面) 5．一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则该直线垂直于另一个平面．(面∥面⇒线⊥面) 6．两个相交平面同垂直第三个平面，则交线也垂直于第三个平面．(面⊥面⇒线⊥面) 7．垂直于同一条直线的两个平面平行．(线⊥面⇒面∥面) 8．一个平面及该平面外的一条直线，同垂直于第二个平面，则直线与该平面平行．(面⊥面⇒线∥面)(反之也成立) 教学过程

类型一

空间位置关系的判定

例1(1)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(

) A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：基本法：若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B、C.故选D. 速解法：构造图形如图所示，知D项正确．

答案：D

方略点评：基本法是逐个排除选项，利用线面关系定理进行推证.速解法是根据已知条件画出适合题意的图形，进行证明. (2)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是(

) A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析：基本法：对A，m，n还可能异面、相交，故A不正确；对B，由线面垂直的定义可知正确；对C，n还可能在平面α内，故C不正确；对D，n还可能在α内，故D不正确．

速解法：在正方体中，找出相应的m、n与面之间的关系，可知B正确．

答案：B 方略点评：判断线面的位置关系，一种方法是根据判定定理或性质定理进行理论推证，另一种方法，把线面放置在具体的几何体中进行判定.

1．(2016·山东莱芜二模)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中不正确的是(

) A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”的充要条件

B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件

C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件

D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

解析：基本法：C中，当m⊂α时，若n∥α，则直线m，n可能平行，可能异面；若m∥n，则n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，故C项不正确．

答案：C 2．(2016·高考全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确．

由平面与平面平行的定义知命题③正确．

由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．

答案：②③④

选择题、填空题的解法——反证法

方法诠释

对于要证的结论，假设不成立，以此为突破口，进行推理，最后得出矛盾的方法是反证法

对于从正面不易说明的结论，可考虑反证法，如证明异面直线等，产生矛盾可以是与已知矛盾，也可以与定理矛盾. 方法特点