3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示ppt配套教案板书设计

§ 3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

一、教学目标：

①知识与技能目标：了解空间向量基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②过程与方法目标：通过探究发现引导学生得出结论，总结方法。

③情感态度价值观目标：通过探究引导的形式让学生积极参与到课堂，提高学生对学习的兴趣，同时课堂内容也锻炼了学生的空间想象能力。

二、教学重点：掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．

三、教学难点：掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

四、教学过程：

（一）新课导入

共线向量定理：对空间任意两向量a、b（b0），a//b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb。

共面向量定理：如果两向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充要条件是存在实数对x,y，使得pxayb。

平面向量的基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a1e12e2（e1,e2叫做这一平面内所有向量的一组基底）

平面向量的正交分解及坐标表示：

axiyj，i(1,0),j(0,1),0(0,0)

a

j

o i

（二）探究

（1）空间向量基本定理：设i,j,k,是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点o。对空间任意一向量pop，设点Q是P点在i,j所确定的平面上的正投影，

是否能类比平面向量基本定理，找到一组有序数组x,y,z，使得pxiyjzk？

（2）在空间中，如果用任意三个不共面的向量a,b,c代替两两垂直的向量i,j,k,能否得到类似的结论？

（三）结论：空间向量的正交分解及坐标表示

单位正交基底

空间直角坐标系

空间向量的坐标表示

有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，记作e1，e2，e3

以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz

对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z) （四）思考辨析

(1)若{a，b，c}为空间一个基底，且p＝xa＋yb＋zc．若p＝0，则x＝y＝z＝0.( ) (2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．( ) (3)以原点O为起点的向量→的坐标和点P的坐标相同．( ) OP(4)若→＝(2,3,0)，则点P在平面xOy内．( ) OP[答案]

(1)√

(2)√

(3)√

(4)√

2．在长方体ABCDA1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) A．→，→，→ B．→，→，→

C．→，→，→

D．→，→，→

C

[由题意知，→，→，→不共面，可以作为空间向量的一个基底．] 3．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________.

a＝(4，－8,3)

b＝(－2，－3,7)

[由题意知a＝(4，－8，3)，b＝(－2，－3,7)．] （五）例题讲解

例1：

如图3130，在直三棱柱ABCA1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，D1A1D1C1D1DD1A1D1C1D1DAC1A1CCC1ABACADABAA1AB1

∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标BNBA1A1B系求向量→，→，→的坐标．

图3130 [思路探究]

以点C为原点，分别以→，→，→的方向为x轴，y轴，z轴的BA1A1BCACBCC1正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN，→，→分别用→，→，→表示出CACBCC1来，再写出它们的坐标．

[解]

法一：由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Cxyz，如图所示．

∴→＝→－→＝2→＋→－→＝→－→＋2→，

∴→的坐标为(1，－1,1)，

而→＝→－→＝→－→＋→，

∴→的坐标为(1，－1,2)．

A1BBA1A1B又∵→＝－→，∴→的坐标为(－1,1，－2)．

BA1BA1CA1CBCACBCC1BNBNANAB1CC1CACBCACB1CC1法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，

∴→＝(1，－1,1)，→＝(1，－1,2)，→＝(－1,1，－2)．

[规律方法]

用坐标表示空间向量的步骤

BNBA1A1B

[跟踪训练] 1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1，DC的中点，如图3131所示建立空间直角坐标系．

图3131 (1)写出各顶点的坐标；

(2)写出向量→，→，→的坐标．

[解]

(1)由图知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，

(2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，

由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0)．

所以→＝(－2，－1，－1)，→＝(－2，－1，－2)，→＝(0,2，－1)．

（六）课堂小结

（七）课后作业

五、板书设计

六、教学反思

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