3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学设计实例

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教材分析：

本节内容是数学选修1-1 第三章

导数及其应用的第二节，是导数的关键部分，对后面更深地研究导数起着至关重要的作用，在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法.但是如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂的，甚至是不可能的.因此，我们希望找到一些简单的函数的导数（作为基本公式）与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥的淋漓尽致，教材层层深入，由易到难，要求通过讲解使得本节简单易懂. 学情分析：

学生已用定义求函数的导数，教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

4.通过本节课，培养学生对问题的认知能力，由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则，学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也加深学生对学习数学的兴趣，激发学生对所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。

教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教具准备：多媒体课件、实物展示台

教学过程：

一．创设情景(多媒体展示) 1问题1：五种常见函数yc、yx、yx2、y、yx的导数公式是什么？

x

函数

导数

yc

y'0

y'1

y'2x

yx

yx2

y1

xy'1

2xyx

yf(x)xn(nQ*)

y12x

y'nxn1

二．新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表（多媒体展示）

函数

导数

yc

y'0

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

ysinx

y'cosx

ycosx

y'sinx

x'x

yf(x)ayalna(a0)

yf(x)ex

y'ex

1

f(x)logax

f(x)logaxf'(x)(a0且a1)

xlna

1

f(x)lnx

f'(x)

x

（二）导数的运算法则

导数运算法则

1．f(x)g(x)f'(x)g'(x)

2．f(x)g(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)

f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)'''

（2）推论：cf(x)cf'(x)

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三．典例分析（多媒体展示例题）

'

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)1.05tln1.05

所以p'(10)1.0510ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx32x3

；

（2）y（4）y11； （3）yxsinxlnx；

1x1xx1lnxy； （5）； （6）y(2x25x1)ex；

x41lnxsinxxcosx（7）y。

cosxxsinx解：（1）y'(x32x3)'(x3)'(2x)'(3)'3x22，

y'3x22。

1'1'(1x)'(1x)')()（2）y(

221x1x(1x)(1x)'1112x2x1[]

(1x)2(1x)22x(1x)2(1x)21(1x)2(1x)2(1x)x

22(1x)x(1x)2x1y'(1x)x

2x(1x)（3）y'(xsinxlnx)'[(xlnx)sinx]'(xlnx)'sinx(xlnx)(sinx)'

1(1lnxx)sinx(xlnx)cosxsinxlnxsinxxlnxcosx

xy'sinxlnxsinxxlnxcosx

x'x'4xx(4x)'14xx4xln41xln4（4）y(x)，

x2x2x4(4)(4)4'y'1xln4。

4x11lnx'212x（5）y'(

)(1)'2()'2221lnx1lnx1lnx(1lnx)x(1lnx)y'2

x(1lnx)2（6）y'(2x25x1)'ex(2x25x1)(ex)'

(4x5)ex(2x25x1)ex(2x2x4)ex，

y'(2x2x4)ex。

（7）y'(sinxxcosx')

cosxxsinx(sinxxcosx)'(cosxxsinx)(sinxxcosx)(cosxxsinx)'

2(cosxxsinx)(cosxcosxxsinx)(cosxxsinx)(sinxxcosx)(sinxsinxxcosx)

2(cosxxsinx)xsinx(cosxxsinx)(sinxxcosx)xcosx

2(cosxxsinx)x2。

2(cosxxsinx)x2

y(cosxxsinx)2'

【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

5284c(x)(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()2100x(100x)'0(100x)5284(1)5284

22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时(10090)2（1）

因为c'(90)变化率是52.84元/吨．

（2）

因为c'(98)52841321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变2(10090)化率是1321元/吨．

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c'(98)25c'(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

四．课堂练习

1．教材P85练习

2．已知曲线C：y

＝3 x

4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；

（y

＝－12 x

＋8）

五．课堂小结

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

六．布置作业

教材P85习题3.2A组第3、4、5题.