习题4.2教案和学案内容

《直线与圆》习题课（第一课时）

班级

学号

姓名

一、

学习目标

1. 能形成直线与圆方程的知识框架，能简述其中蕴含的坐标法及数形结合思想；

2．能用待定系数法和几何性质求圆中的基本量；

3.

能解决直线与圆相切、相交的一些问题，能利用几何性质优化计算过程；

4. 能挖掘几何性质建立等量关系求轨迹方程，有选择简便方法的意识；

二、基础知识回顾

几何直观

代数表示

点

点斜式

两点式

一般式

直线

斜截式

截距式

圆

标准方程

一般方程

直线与直线的位置关系

斜率k1,k2

位用方程研究

直线与圆的位置关系

置几何性质

圆心到直线的距离d与半径

关

圆与圆的位置关系

系

圆心距d和r1,r2 22

x1x2y1y2两点间的距离

距

|Ax0By0C|d点到直线的距离

离

A2B2

两条平行线间的距离

|C1C2|d

A2B2

三、练习

1.直线xtanA.3y20的倾斜角是（

C

）

2 B. C. D. 33

362. 如果直线

2a5xa2y40与直线2axa3y10互相垂直，则a( C

) B．－2

22A．

2

C．2,－2

D．2,0,－2 3.已知直线xy10，圆xy4x4y70，则直线与圆（

B

）

A．相切

B．相交

22

C．相离

22D．不确定

4. 若圆C1: xy4x4y70，圆C2: xy4x10y130，则两圆（C

）

A、外切

B、相交

C内切

D、内含

四、样例学习，回顾主要题型

问题一：求圆的基本量

【2015全国2卷理数】已知三点A（1,0），B（0， ），B（2， ），则三角形ABC的外接圆圆心到原点的距离为？

题型总结：

解题程序：

解题体会：

问题二：直线与圆相切、相交

已知圆C:(xa)2(y2)24(a0)及过点P（3,4）的直线l. （1）

若a1，试判断直线m:ytx2t1与圆C的位置关系；

（2）

若直线l的斜率为1，直线l被圆C截得的弦长为22时，求a的值；

（3）

若a1，直线l与圆相切，求直线l的方程；

解题回顾：直线与圆的位置关系问题一般有以下几种考查方式：

（1）

（2）

（3）

题型总结：已知直线与圆相切（相交），求直线或圆的方程

解题程序：

归纳思想方法：

问题三：求轨迹方程（圆的方程）

22P(1,1)xy2x4y30过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，C【2014年全国2卷文数】已知点，圆:线段AB的中点为M，O为坐标原点,求M的轨迹方程；

变式：从圆外一点Q(x,y)引作圆的一条切线，切点为M,O为坐标原点，且|MQ||OQ|，求点Q的轨迹方程

题型总结：

解题程序

解题体会：

五、课堂小结

两种关系：直线与圆的位置关系——相切、相交

两个几何性质：直线与圆相交时，垂径定理；直线与圆相切时，切线与半径垂直

三种思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想

课外作业：

【课堂巩固练习】

1.若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是 _____________ 2. 直线axy2a0与圆x2y29的位置关系是（

）

A．相离

B．相交

C．相切

D．不确定

3．已知直线ymx3m和曲线y学4x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是(

)

4.

过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为_______

5．过点M3,2作圆O:x2y24x2y40的切线方程是________________

【课外拓展】

(2009广州水平测)

圆x1y21关于直线xy0的对称圆的方程为(

) Ａ．x1y21

Ｂ．

x2y11

Ｃ．x1y21

Ｄ．

x2y11

22222222221.直线l过点P1,2且与以A2,3,B3,0为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围为( ) A．[,0)

21(0,5]

B．[,5] C．(,] D．(,][5,)

1212122.过点M(3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程是

3.

若直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．

4.若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．

5. 圆x2y22x2y10上的点到直线xy2的距离最大值是（

）

A．2

B

12

C

12

D

122

26.在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x3)2(y1)24和圆C2:(x4)2(y5)24.

（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的

互相垂直的直C1截得的弦长点P的坐标. 2017水平考复习导学稿----《直线二课时）

班级

学号

姓名

一、

学习目标

与圆》（第

1、能利用垂径定理等几何性质和直接法求与圆有关的轨迹方程；

2、能利用性质将条件翻译为代数式；能用代数法解决直线与圆的位置关系的综合问题（面积问题、取值范围问题、定点问题等），能概括代数法的解题步骤；

二、课前回顾

用几何法解决直线与圆问题的步骤：1）

2）

3）

三、样例学习

题组一：与向量综合

2)且斜率为k的直线与圆Q相交在平面直角坐标系xOy中，已知圆xy12x320的圆心为Q，过点P(0，于不同的两点A，B．（1）求k的取值范围；

（2）是否存在常数k，使得向量OAOB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

22OB

=12,求k的值

变式：若OA·

解题步骤：

1）

2）

3）

4）

5)

题组二：面积问题

已知圆C x2y24，若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线l的方程．

变式：设斜率为1的直线l与圆C交于两点A、B，求ABC面积的最大值，并求此时直线l的方程.

解题步骤：1）___________________2) ___________________3) ___________________ 解题体会：面积问题关键在于__________________________

题组三：定点问题

已知圆C的方程为:x2(y4)21,直线l的方程为2xy0，点P在直线l上，过点P作圆C的切线PA,PB，切点为A,B。求证：经过A,P,C三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标。

解题步骤：1）___________________2) ___________________3) ___________________ 解题体会：

四．课堂总结

一个方法——代数法

五个步骤——设线、设点、联立、消元、韦达

四个问题——与向量综合问题、面积问题、定点问题

作业：

1.已知圆的半径为10，圆心在直线y2x上，圆被直线xy0截得的弦长为42，求圆的方程．

2.已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；

(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

3. )已知圆C的方程为x2＋y2＝4. (1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；

→→→→(2)圆C上一动点M(x0，y0)，ON＝(0，y0)，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹方程

4已知圆C经过点N(0, 2)，且与直线xy220相切于点M(2,2)．

（I）求圆C的方程；

（II）过定点（0，3）作直线l与圆C交于A、B两点，设OPOAOB，(O为坐标原点)，是否存在直线l使四边形OAPB为正方形？若存在求出l的方程，若不存在说明理由。

5.平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线x3y20相切.22（1）求圆C的方程；（2）在圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mxny1与圆O:xy1相交于不同的两点A,B，且OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的OAB的面积；若不存在，请说明理由．

6.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数fxx2xbxR的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交2点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你

27.已知圆C过点P(1,1)，且与圆x3y3r（r＞0）关于直线xy30对称．

22（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）过点P作两条直线分别与圆C相交于点A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，

判断直线OP与AB是否平行，并请说明理由．

第一课时答案

CCBC 法一：待定系数法

2设圆的标准方程为xaybr

22因为点A,B,C在圆上，所以点A,B,C的坐标满足圆的方程

2将A,B,C的坐标代入圆的方程xaybr

2222a11a0br222322于是有0a3br，解方程b

32222a3br23r323即圆心坐标为1,3，到原点的距离为23210

103322法二：几何性质求中垂线

因为三角形ABC的外接圆圆心到A,B,C三点的距离相等，所以圆心在线段AB、AC的中垂线上，

即AB、AC的中垂线交点就是A,B,C外接圆圆心

133013AB中点坐标为,，直线AB的斜率为k，所以线段AB中垂线的斜率为

32201k3所以AB的中垂线方程为y33133即

yxx33232BC中点坐标为1,3，线段BC的中垂线方程为x1

x1y3x3联立中垂线方程解方程有23

x1y323即圆心坐标为1,3，到原点的距离为

法三：注意到三角形为等边三角形，则其外接圆圆心为其中心

23210

103322

依题意画出图形，由距离公式易知三角形ABC为等边三角形，设D为BC中点，则三角形ABC的外接圆圆心P在2323AD的三等分点处，则点P的纵坐标为，横坐标为1，即圆心坐标为1,，

33到原点的距离为10223210

332（1）若a1，试判断直线m:ytx2t1与圆C:的位置关系

直线m:ytx2t1即m:ytx21过定点A2,1

因为211224，所以点A在圆内，

过圆内一定点的直线与圆相切

（2）若直线l的斜率为1，直线l被圆C截得的弦长为22时，求a的值；

由题意知，直线l的方程为y4x3即yx1，也就是xy10

圆C的圆心为Ca,2，半径为r2，则圆心到直线的距离为d22a211122a12

a1l因为直线与圆相交，所以d2r2即22（1）

若a1，直线l与圆相切，求直线l的方程；

22224解得a3a10舍

若直线l的斜率不存在时，过点P3,4的直线l的方程为x3，此时圆心C1,2到直线l的距离

为d2r，符合题意；

若直线l的斜率存在时，设过P3,4的直线l的方程为y4kx3即kxy43k0

圆心C1,2到直线l的距离d

因为直线与圆相切，所以dr，即k243kk1222k2k122

2k2k1222解得k0，此时直线l的方程为y4

综上所述，直线l的方程为y4或x3

圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4，

设M(x,y)，则CM(x,y4)，MP(2x,2y)，

由题设知CMMP0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.

1.(x5)2y25 2.B 3.[0,D 25)

4.23

5.y2与5x12y90 51. (,][5,) 2. 4x3y0或xy10 3. 3x－2y-1＝0

4.

4

5.

B 6.解：由题意C1(3,1),r12,C2(4,5),r22

(1)由题意，直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：yk(x4)，即kxy4k0

2由垂径定理可得：圆心C1到直线l的距离d2(12232)1，

2

结合点到直线距离公式，得：|3k14k|2k17224k7k0,k0或k.化简得：

24

求直线l的方程为：1,

y0或y7(x4)，即y0或7x24y280

24

(2) 设点P坐标为(m,n)，由题意直线l1、l2的方程分别为：21世纪教育网

111ynk(xm),yn(xm)，即：kxynkm0,xynm0kkk

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，且两圆半径相等。由垂径定理可得：圆心C1到直线l1与圆心C2直线l2的距离相等。

41|5nm|k故有：|3k1nkm|k，

…………………9分

21k11k2化简得：(2mn)kmn3,或(mn8)kmn5

…………………11分

2mn0m-n+8=0关于k的方程有无穷多解，有：

21世纪教育网

…………………12分

,或mn30m+n-5=0解之得：点P坐标为(5,1).或

(3,13)

…………………14分

22.22

第二课时答案

1.解：（Ⅰ）圆的方程可写成(x6)y4，所以圆心为Q(6，0)，过P(0，2)且斜率为k的直线方程为22

ykx2．代入圆方程得x2(kx2)212x320，整理得(1k2)x24(k3)x360．①

直线与圆交于两个不同的点A，B等价于[4(k3)2]436(1k2)42(8k26k)0，

解得33k0，即k的取值范围为，0．

444(k3)

②

1k2（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OAOB(x1x2，y1y2)，由方程①，x1x2又y1y2k(x1x2)4．③ 而P(0，，2)Q(6，，0)PQ(6，2)．

所以OAOB与PQ共线等价于(x1x2)6(y1y2)， 将②③代入上式，解得k

2.解：（1）圆C的半径为|CM|132，

……………………… 2分

所以圆C的方程为x2y24 …………………………………4分

（2）圆心到直线l的距离为d|-4|11223．

422， …………………………………6分

所以P到直线l：xy40的距离的最小值为：222

………………… 8分

（3）设直线l的方程为：ykxb，因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，

则k0,b0，且A(,0),B(0,b)，又l与圆C相切，

则C点到直线l的距离等于圆的半径2，

即：|b|k12bk2b4k4，

①，

而S22ABC1bb2

②

…… 11分

()b2k2k将①代入②得SABC(4k24)112(k)4(k)4，当且仅当k=﹣1时取等号，所以当k=﹣1时，△ABC2kkk的面积最小，此时b24k248,

b22，直线l的方程为：yx22

……………

3.设P(a,2a)，过点A,P,C的圆即是以PC为直径的圆，………………9分

其方程为：

x(xa)(y4)(y2a)0，………………10分

整理得xyax4y2ay8a0

即(xy4y)a(x2y8)0………………12分

2222

8xxy4y0x05，………………13分

由得或x2y80y4y16522该圆必经过定点(0,4)和(,1. 816)。…………………14分

55

.

3.

4.

5.

5.6.（1）f(x)与坐标轴有三个交点必是与y轴有一个、与x轴有二个

令x0，得抛物线与y轴的交点(0,b)(b0)

令fxx22xb0，则它有二不同的解

∴

44b0

解得

b1

因此，实数b的取值范围是{b|b1且b0}. （2）设所求圆的方程为x2y2DxEyF0

令y0 得x2DxF0，其解是圆与x轴的交点

∴

x2DxFx22xb0故

D2,Fb

又

令x0

得y2EyF0，此方程有一个根为b∴

E1b

因此，所求圆的方程是x2y22x(b1)yb0. （3）圆C必过定点(0,1)和(2,1)∵

当y1时，方程变为x22x0

解得x0,x2 ∴

圆C过定点(0,1)和(2,1).

7.