3.1.3 空间向量的数量积运算优质课教案设计

3.1.3

空间向量的数量积运算

课时目标

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．

1．空间向量的夹角

定义

→→已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角

记法

范围

,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？

2．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. (2)数量积的运算律

数乘向量与向量数

(λa)·b＝________ 量积的结合律

交换律

a·b＝______ 分配律

a·(b＋c)＝____________ (3)数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.

两个向

②若a与b同向，则a·b＝________；

量数量

若反向，则a·b＝________. 积的

特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a. 性质

③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______

④|a·b|≤|a|·|b|.

一、选择题

1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：

①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；

②|a|－|b|<|a－b|；

③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的有(

) A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(

)

A.7

B.10

C.13

D．4 →4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则AE·CF等于(

) 131A．0

B.

C．－

D．－

2425.

如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(

) A．62

B．6 C．12

D．144 6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则(

) A．m∥n

B．m⊥n

C．m不平行于n，m也不垂直于n

D．以上三种情况都有可能

二、填空题

7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝7，则a与b的夹角为________．

π8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________. 39．在△ABC中，有下列命题：

→→→①AB－AC＝BC；

→→②AB＋BC＋CA＝0；

→→→→③(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，则△ABC为等腰三角形；

→→④若AC·AB>0，则△ABC为锐角三角形．

其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题

10.

如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.

11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，1|CN|＝|ND|，求|MN|. 2

能力提升

→12.平面式O,A.B三点不共线，设OA＝a，OB＝b，则△OAB的面积等于(

) A.|a|2|b|2－a·b2

B.|a|2|b|2＋a·b2

1C.|a|2|b|2－a·b2

21D.|a|2|b|2＋a·b2

213.

如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．

1．空间向量数量积直接根据定义计算．

2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：

(1)利用a⊥b⇔a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos a·bθ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．

|a|·|b|

3．1.3

空间向量的数量积运算

知识梳理

1．〈a，b〉

[0，π]

2．(2)λ(a·b)

b·a

a·b＋a·c

(3)①a·b＝0

②|a|·|b|

－|a|·|b| a·b③

|a||b|作业设计

1．D

[①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．] 2．A

[a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|⇔cos〈a，b〉＝1⇔〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．] 3．C

[|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2

＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝13.] →→1→→14．D

[AE·CF＝2(AB＋AC)·ADAC

21→→1→→1→→1→2＝AB·AD＋4AC·AD－2AB·AC－2|AC|

411111＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.] 44222→→→→5．C

[∵PC＝PA＋AB＋BC，

→→→→∴|PC|2＝(PA＋AB＋BC)2

1→→→→→→→→→→＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝108＋2×6×6×＝144，∴|PC|＝12.] 26．B

[由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，

m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，

∴m⊥n.] 7．60°

解析

由|a－b|＝7，得(a－b)2＝7，

即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，

1∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°. 28.7 解析

|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2

1＝1＋2×2×＋4＝7. 29．②③

→→→→→解析

①错，AB－AC＝CB；②正确；③正确，|AB|＝|AC|；④错，△ABC不一定是锐角三角形．

10．证明

∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，

∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB. →→→→→∵OA·BC＝OA·(OC－OB) →→→→＝OA·OC－OA·OB

→→→→＝|OA||OC|cos∠AOC－|OA||OB|·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC. 11．解

→→→→→→→如图所示，|AB|＝|AC|＝|AD|＝a，把题中所用到的量都用向量AB、AC、AD表示，于是MN＝→→→MB＋BC＋CN

2→→→1→→1→1→2→＝AB＋(AC－AB)＋(AD－AC)＝－AB＋AD＋AC. 33333→→→→→→又AD·AB＝AB·AC＝AC·AD

1→1→＝|AD|2cos 60°＝|AD|2＝a2，

2212→→1∴MN·MN＝ABADAC·

333121ABADAC

3331→2→→4→→4→→1→24→21212124252＝AB2－AD·AB－9AB·AC＋9AC·AD＋9AD＋9AC＝9a－9a＋9a＋9a＝9a. 9955→故|MN|＝MNMN＝a，即|MN|＝a. 3312. C

[如图所示，

1S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉

21＝|a||b|1－〈a，b〉2

2

1a·b2＝|a||b| 1－

2|a||b||a|2|b|2－a·b1＝|a||b| 222|a||b|1＝|a|2|b|2－a·b2.] 213. 2

解

由AC⊥α，可知AC⊥AB，

过点D作DD1⊥α，D1为垂足，

连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，

∴∠BDD1＝60°，

∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，

→→→→∴〈CA，DB〉＝60°，∴〈CA，BD〉＝120°. →→→→又CD＝CA＋AB＋BD，

→→→→∴|CD|2＝(CA＋AB＋BD)2

→→→→→→→→→＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2CA·BD＋2AB·BD∵BD⊥AB，AC⊥AB，

→→→→∴BD·AB＝0，AC·AB＝0. →→→→→→故|CD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·BD

222＝24＋7＋24＋2×24×24×cos 120°＝625，

→∴|CD|＝25.