3.1.1 变化率问题教案和课堂实录

人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节

变化率与导数

1.1.1 变化率问题（学案）

学习目标

1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 学习重点：

探究和体验平均变化率的实际意义与数学意义

学习难点：

平均变化率的概念.

学习过程

一．情景引入

为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。

二．概念形成：

问题一 气温平均变化率

小明把某市2016年3月和4月某天日最高气温用直角坐标记载如图.

（1）

A,B,C三点坐标分别表示什么意思？

T(℃)C (34, 33.5)

30

20B (31, 18.5)

10（2）

当时间从第1天到第31天，从第31天到第

A (1, 3.5)2034天时，温度平均变化率分别是多少？

110203134

（注：3月18日为第一天）t(d)

问题二

高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么

动手计算：0t0.5和1t2的平均速度v，

（1）在0t0.5这段时间里，

（2）在1t2

这段时间里，

（3）当时间从t1增加到t2时,高台跳水运动员的平均速度是

问题三

气球膨胀率

在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?

我们把半径的增加量与体积的增加量之比就叫做气球的平均膨胀率。

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是_______________

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

空气容量v(L) 0 1 2 3 气球半径（dm）

0 0.62 0.78 0.89

V从0L增加到1L气球平均膨胀率为

V从1L增加到2L气球平均膨胀率为

V从2L增加到3L气球平均膨胀率为

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是

回顾上述的三个问题，找出它们的共同特征，把问题一般化，归纳得到函数的平均变化率的概念。

三．定义

函数f(x)从x1到x2的平均变化率:

四．概念巩固

例一物体的运动方程是.s(t)=4tt2

1）求在１t2这段时间的平均变化率；

2）求在１t３这段时间的平均变化率；

小结：

求函数的平均变化率的步骤:

变式1：从１到1＋ｔ这段时间内的位移的增量ｓ为多少？

平均变化率为多少？

变式2：从t0到t0＋ｔ这段时间内的位移的增量ｓ为多少？

平均变化率为多少？

小结

函数f(x)从x0到x0x的平均变化率:

思考：

yf(x

观察函数y=f(x)的图象，平均变化率2)f(x1)x=x2x1

的几何意义是什么？

归纳总结：

思考：计算运动员在0t6549这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内是静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

五．拓展深化

课后作业： ①习题1.1Ａ组

第1题．

（（