1.1.2 简单组合体的结构特征第一课时教学设计

柱体、锥体、台体的表面积

一、选择题

1．正四棱柱的对角线长是9cm，全面积是144cm2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（

）

A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC，且侧面A1ABB1与侧面A1ACCl的面积相等，则∠BB1C1等于（

）

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°

3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（

）

A．10cm

B．52cm 5242

C．51cm

D．2cm 3

4．中心角为4π，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于（

）

A．11∶8

B．3∶8

C．8∶3

D．13∶8

5．正六棱台的上、下底面的边长分别为a、b（a

）

A．33（b2－a2）

B．23（b2－a2）

3

C．3（b2－a2）

D．2（b2－a2）

6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（

）

A．1∶2∶3

B．1∶3∶5

C．1∶2∶4

D．1∶3∶9

7．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（

）

A．3∶5

B．9∶25

C．5∶41

D．7∶9

8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（

）

12121214

A．2

B．4

C．

D．2

9．已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面T体EFGH的表面积为T，则S等于（

）

1411

A．9

B．9

C．4

D．3

10．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边

所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（

）

A．40

B．20(13)

C．30(13)

D．303

二、填空题

11．长方体的高为h，底面面积是M，过不相邻两侧棱的截面面积是N，则长方体的侧面积是______．

12．正四棱台上、下底面的边长为b、a（a＞b）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．

13．圆锥的高是10 cm，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．

14．圆台的母线长是3 cm，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．

三、解答题

15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a，侧面积为S，求棱台上底面的边长．

16．圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?

17．圆锥底面半径为r，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A，求一个动点P自A出发在侧面上绕一周到A点的最短路程．

参考答案

一、选择题

1．C

设正四棱柱的底面边长为a，高为c，由题意

2a2＋c2＝81①

2a2＋4ac2＝144

即a2＋2ac2＝72②

①×8－②×9得7a2－18ac＋8c2＝0即（7a－4c）（a－2c）＝0，因此7a－4c＝0或a＝2c，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C．

2．C

3．D

4．A

5．A

6．B

7．D 8．A设底面圆半径为r，母线即高为h．∴h＝2πr．

S全2r2＋2rhr＋hr＋2r1＋22rh∴S侧＝＝h＝2r＝2．

∴应选A．

9．A 10．B

可计算出直截面的周长为5＋53，则S侧＝4（5＋53）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A1AC＝∠A1AB＝60°，则可证明□BB1C1C为矩形，因此，S侧＝2S□AA1B1B＋S矩形BB1C1C＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．

二、填空题

11．2N＋2Mh．

设长方体的长和宽分别为a，b则有a·b＝M，a＋b·h＝N，

2222N222＋2M222h2（a＋b）h＝2（a＋b）·h＝·h＝2N＋2Mh．

1129ab2003312．a＋b

13．3；60°

14．2cm；2cm，2cm 三、解答题．

15．设O，O1分别为下，上底面中心，连接OO1，则OO1⊥平面ABC，上底面边长为x，连接AO，A1O1并延长交BC，B1C1分别于D、D1两点．

则AD⊥BC，连接DD1，则DD1⊥BC，∠ADD1为二面角A－BC－D1的平面角，即∠ADD1＝60°，过D1作D1E∥OO1交AD于E，则D1E⊥平面ABC．

33ax在正△ABC，△A1B1C1中，AD＝2，A1D1＝2．

13在Rt△D1ED中，ED＝OD－OE＝3（AD－A1D1）＝6（a－x）．

3（x＋a）（a－x）332则D1D＝2ED＝3（a－x），由题意S＝3·．

2332a－S223即S＝2（a－x）．解得x＝．

16．如图SAB是圆锥的轴截面，其中SO＝12，OB＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O1C＝x，由△SO1C∽△SOB，

[来源:21世纪教育网]SO1SOSO12xOC则1＝OB，SO1＝OB·O1C＝5，

1212xx∴OO1＝SO－SO1＝12－5，则圆柱的全面积S＝S侧＋2S底＝2π（12－5）x＋2πx272x5＝2π（12x－）．

303602当x＝7cm时，S取到最大值7cm．

17．如图扇形SAA′为圆锥的侧面展开图，AA′即为所求的最知路程，由已知SA＝SA′＝r3r，θ＝SA360°＝120°，在等腰△SAA′中可求得AA′＝33r．

21世纪教育网

[来源:21世纪教育网]

柱体、锥体与台体的体积

一、选择题

1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（

）

A．2倍

B．4倍

C．2倍

D．22倍

2．一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32 cm2，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是（

）

A、28cm

B．32 cm

C．36 cm

D．40 cm

3．正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（

）

2133333733aaa3

A．2

B．2

C．73a

D．

2

4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（

）

1

A．1

B．3

C．2

D．2

5．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm2，则此球的体积为（

）

4166cm3cm3cm3cm3

A．3

B．8

C．6

D．6

33a

6．正六棱锥的底面边长为a，体积为2，那么侧棱与底面所成的角为（

）

5

A．6

B．4

C．3

D．12

7．正四棱锥的底面面积为Q，侧面积为S，则它的体积为（

）

11QSQ(S2Q2)

A、3

B．2

11S(S2Q2)Q(S2Q2)

C、2

D、6

8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（

）

A．1∶7

B．2∶7

C．7∶19

D．3∶16

9．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S1、S2、S3，下面关系中成立的是（

）

A．S3＞S2＞S1

B．S1＞S3＞S2

C．S1＞S2＞S3

D．S2＞Sl＞S3

10．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那

么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（

）

A．1∶5

B．1∶23

C．1∶11

D．1∶47

二、填空题

11．底面边长和侧棱长都是a的正三棱锥的体积是_______．

12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．

13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．

14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．

三、解答题

15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．

16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．

17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．

18．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1ClDl的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．

参考答案

一、选择题

1．D b·c＝8a·ab＋bc＋ca＝16b2＝ac2．B解：由已知①②③

③代入①得b3＝8，b＝2，ac＝4，代入②a＋c＝6．

∴长方体棱长的和为4（a＋b＋c）＝4×8＝32（cm2）．

3．D

4．B

5．C

6．B 7．D

设正四棱锥的底面边长和高分别为a，h，斜高为h′，

2a2a12h＋（）h＋2，S＝2（4a）h′＝2a4解得

则h′＝22S2Q1S2a－－24Q4＝24＝h＝4aS2－Q2Q．

111V＝3h·Q＝3（2S2－Q21Q（S2－Q2）Q）Q＝6．

8．C

9．B 10．D由E、F、G分别为BB1，B1C1，B1A1的中点，可证明平面EFG∥平面BC1A1，因此

EF311）VB1－BC1A1＝BC1＝（2）3＝8．

111即VB1－EFG＝8VB1－BC1A1＝8·3VB1BC1－A1AD

1111

＝8（3·2VABCD－A1B1C1D1）＝48VABCD－A1B1C1D1，

（VB1－EFGVB1－EFGVABCD－A1B1C1D1－VB1－EFG1＝47．

二、填空题．

3623a11．12

12．

148313．9；8

14．3

15．三棱锥A－BCD中，AB＝6，设E为AB的中点，连结CE，DE，则CE⊥AB，DE⊥AB．

在直角△AED中，DE＝AD－AE＝5－3＝4．

同理CE＝4，F为CD中点，连接EF，则EF⊥CD，在Rt△DFE中，

2222525239DE2－（）42－（）2＝2＝2．

EF＝539∴S△CED＝4．

11VA－BCD＝VA－ECD＋VB－ECD＝3AE·S△CED＋3BE·S△CED

11539539

＝3（AE＋BE）S△CDE＝3×6×4＝2．

16．设正三棱台的高为h，

32252h2＋［（15－10）］h＋612，

则斜高h′＝＝（310＋315）h2＋由已知251223＝4（152＋102），解得h＝23．

47513332210·15因此V＝3·23（4·102＋4·152＋4）＝2（cm3）．

别解：设上、下底面面积分别是S1，S2（S1＜S2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S侧＝S1＋S2①．

又S侧cosα＝S2－S1②，

3152－4S2－S13152＋②÷①，cosα＝S1＋S2＝4然后再求棱台的高和体积．

31024531024＝13．

117．设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为3πR2h，圆柱形容器内的液体体积a为π（2）2h．

1a3a22根据题意，有3πRh＝π（2）h，解得R＝2．

再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得

3ah32aa＝a，所以h＝2．

a2118．解：SA1D1E＝2A1D1·AA1＝2．

1225（a）＋aa223AE＋AB22D1B＝a，D1E＝BE＝＝＝．

等腰△EBD1的高为BE2－（D1B252322）（a）－（a）a222＝＝2．

1262aSBED1＝2（3a）（2）＝4a．

设A到平面BED的距离为h，而VA1－BED1＝VB－A1D1E，

1111SBED1SA1D1E33即·h＝·AB．

11a21626aa33324∴··h＝··a，解得h＝．

一、选择题

1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（

）

A．2倍

B．3倍

C．4倍

D，8倍

2．若球的大圆周长是C，则这个球的表面积是（

）

球的体积和表面积

c2c2c2

A．4

B．4

C．

D．2πc2

3．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是（

）

16864

A．9

B．3

C．4π

D．9

4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（

）

A．4倍

B．8倍

C．16倍

D．32倍

5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（

）

A、1倍

B．2倍

C．3倍

D．4倍

6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（

）

22

A．4π

B．4

C．3

D．4π

7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm，两个直径都是5 cm的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（

）

510405

A、3cm

B．3cm

C．3cm

D．6cm

8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积为（

）

86416

A、9π

B．3π

C．4π

D．9π

9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（

）

A．202π

B．252π

C．50π

D．200π

10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（

）

A．S球＞S正方体

B．S球＝S正方体

C．S球＜S正方体

D．大小关系不确定

二、填空题

11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V1、V2、V3，则V1＋V2＝_____V3．

12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l，则球的体积为_________．

4

13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm2的圆柱状容器中，容器水面升高3cm，则玻璃球的半径为__________．

14．将一个半径为R的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．

15．表面积为Q的多面体的每个面都外切于半径为R的一个球，则多面体与球的体积之比为______．

16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm，“大球”的外径为40 mm，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．

三、解答题

17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为16的小球？

18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm，高度为5 cm，该西瓜体积大约有多大?

19．三棱锥A－BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．

20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．

参考答案

一、选择题

1．B

2．C

3．D

4．B

5．C

6．C

7．A

8．D

9．C

10．C 二、填空题

1V311．3

提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．

12．36π

21世纪教育网8＝1，

设球的半径为R，由题意得R－5－R－43R∴R＝3，∴V球＝3＝36π．

22

833R13．4cm

14．9

15．Q∶4πR2

16．361∶400 三、解答题

34R33317．设球半径为R，则3＝16，∴R＝4．而正三棱柱底面内切圆半径r＝6，比32271272727196626·64，r6＝66＝36·26＝3·26·243，

较R与r的大小，R6＝4＝4＝3·∴R6＞r6，∴R＞r，所以不能放进一个体积为16的小球．

18．解：如图，设球半径为Rcm，切下的较小部分圆面半径为15cm，∴OO′＝R－5．

Rt△OO′A中，R2－（R－5）2＝15，

∴R=25（cm）．

21世纪教育网625004343（25）R3V＝3＝3＝（cm3）．

RS19．设球半径为R，三棱锥A－BCD表面积为S，则V三棱锥＝3．取CD中点M，连结AM、BM．

∵AC＝AD＝5，∴CD⊥AM．

同理CD⊥BM，∴CD⊥平面ABM，

1∴V三棱锥＝3（CM＋MD），S△AMB＝2S△AMB．

∵AM＝BM＝4，取AB中点N，连结MN，

则MN⊥AB，且MN＝4－3＝7，

∴S△ABM＝37，∴V三棱锥＝67．

又三棱锥每个面面积和都为12，

2248R∴S＝4×12＝48，∴V三棱锥＝3＝16R．

20．解：设球的半径为R，正四棱柱底面边长为a，

∵4πR2＝324π，∴R＝9，

∴142＋（2a）2＝182，∴a2＝64，∴a＝8．

∴S四棱柱＝2a2＋4a·14＝64×2＋32×14＝576．