习题4.2优质课教案内容

《直线与圆习题课之几何法求解代数问题》教学设计

一、知识结构：

《直线与圆》这个单元是解析几何的基础，因为直线和圆是最简单基本的几何图形，研究直线和圆的思想与方法也就是解析几何研究的基本思想与方法，并且也是后续学习的基础。

解析几何方法是通过坐标系，将几何问题转化为代数问题来解决；反过来，某些代数问题放在适当的坐标系中，若具有某种几何意义，则也可以转化为几何问题来解决，这是解析几何方法应用的两个方面。

事实上，教材(人教A版高中数学必修2)在“两点间的距离”一课中，例4和习题都有相关的问题，但仅局限于直线图形与两点间的距离几何意义，学生对代数与几何的密切关系、相互转化的意识不免太过肤浅和薄弱，为强化解析几何方法，尤其是将代数问题几何化法，有必要适当拓展和加强。

鉴于此，确定本课重点为“利用代数式的几何意义，用几何法解决某些代数．．问题”，难点是“挖掘代数式的几何意义”。

．． 二、学情分析：

学生已经在“两点间的距离”一课中,通过例4和相关习题，初步懂得了解析几何的基本方法——坐标法及其三个基本步骤,了解到解析几何应用的两方面。

因此，在学习本节课前，把直线图形拓展到圆，把两点间的距离拓展到斜率、截距等其它几何意义，对学生而言，既有自然产生的愿望，也有学习本节课的基础。适当控制一下难度，学生应该会比较顺利达到学习目标。

三、教学目标

当前，核心素养体系被置于深化课程改革、落实立德树人目标的基础地位，中学数学核心素养更是被教育界给予更多的重视和关注。本课也将在“数学抽象”这一核心素养的形成过程中，发挥出应有的作用，即：让学生积累从具体到抽象的活动经验，更好地理解数学概念、命题、方法和体系，能通过抽象概括去认识、理解、把握事物的数学本质，逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。

根据上述分析，本课教学目标制定如下：

1、知识方法目标：通过对具体案例的分析求解,体会代数问题几何化的巧妙,并抽象出此类问题的求解方法和步骤。

2、能力目标：通过旧题回顾，巩固将几何问题代数化的方法和步骤；通过新题探究，抽象出代数问题几何化的方法和步骤，培养学生分析、探究、抽象、归纳等逻辑思维能力，进一步强化数形结合思想。

3、情感目标：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，培养学生拓展、探索、创新的精神和能力。

四、教学流程

提出问题→初步求解问题→温习旧知与经验→借鉴旧知与经验继续探求问题新方法→抽象归纳思想方法→巩固练习→布置作业，共七个环节。

1、提出问题

例1、（1）已知实数x,y满足2xy40，求x2y2的最小值。

（2）已知非负实数x,y满足2xy40，求y1的取值范围。

x1（设计意图：开门见山抛出问题，任学生自由解答，有效推动和激发学生去主动思考解决问题）。

2、学生自主求解问题

解：（1）由2xy40可得：y2x4，将其代入x2y2，

816

得：x2y2=x2(2x4)25x216x+165(x)2

558416

可见，当x,y时，x2y2取得最小值。

555（2）∵

x0，y2x40

∴0x2，

∴

y12x5712[,5]

=x1x13x1归纳反思：（1）以上解法是根据代数问题特征，通过消元、配方或分离整式的方法，使变量集中，即各种化繁为简，进而利用二次函数特征或函数的单调性求得，自然、顺畅。

（2）以上问题是否还有其它方法？

（设计意图：估计学生能自行解答，充分肯定学生的成功，使之进入愉快的

学习状态，同时简要提炼其思想方法，并开启新的探索之路）

3、旧例旧题温习：

（设计意图：通过再浏览教材例题与习题，重温其解答方法，体会解析几何方法的两个方面，感受数形结合的思想方法的重要与巧妙之处）。

P105 例4：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

P110 习题B组T7：已知AO是△ABC边BC的中线，求证：

|AB|2|AC|22(|AO|2|OC|2)

P110 习题B组T8：已知0x1,0y1，求证：

x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222

（设计意图：通过旧例旧题温习，引导学生思考例1代数问题可否转化为几何化问题来解决，以及思考如何解决？唤起学生思维情境，促使学生抓问题关键，突破重难点）

4、探究新方法——代数问题几何化：

分析：如何将代数问题几何化，关键要发现代数式所表示的几何意义，如T8中x2y2表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离。例1中，式子2xy40、x2y2、y1分别表示什么几何意义？

x1解法二：（1）依题意，点P（x，y）在直线2xy40上，

x2y2=(x2y2)2表示直线上点P（x，y）与原点的距离的平方，

由图可知，当OP与直线垂直时，其值最小，即为原点到直线之间的距离d的平方值。又

d45，

∴

（x2y2）min= d216

5

（2）设P（x，y）是线段2xy40(x0,y0)上一点，

点Q（-1，-1），

则y1表示直线PQ的斜率k，

x1

由图可知：当点P分别为线段两端点A（0，4），B（2，0）时，

1y11[,5]

直线PQ的斜率k分别取得最大值5和最小值，

∴

3x13

变式：若第（2）小题将“非负实数x,y”改为“实数x,y”，如何求解？

归纳反思：为了顺利将代数问题几何化，首先应联想到代数式所表示的几何意义，如两点间距离（的平方）型代数式，斜率型代数式等等。

（设计意图：引导学生代数问题几何化的意识，并初步掌握其方法，继续突出本课重点与难点）

yxk例2、若关于实数x，y的方程组2恰有一个解，求实数k的取x1y值范围。

解析：依题意，知直线yxk与圆x2y2=1的右半部分恰有一个交点，

由图易知：k(1,1)或k2

归纳反思：

此题解答，将方程解的问题转化为相应图形的交点问题，也显自然，且参数k的几何意义是直线yxk在y轴上的截距，由于数据和图形的特殊性，答案呼之欲出。

（设计意图：培养学生知识方法变式、迁移能力，进一步加强代数问题几何化的意识，体验好方法带来的喜悦，刺激学生跃跃欲试的学习劲头）

5、抽象归纳思想方法：

无论是借助坐标系将几何问题代数化，还是利用代数式的几何意义将代数问题几何化，都是解析几何应用的两个方面，归根结底也都是“数形结合”的思想方法的体现，都为问题的解答开辟了新的途径，开阔了视野，引领创新。

（设计意图：培养学生归纳总结、抽象思维的能力，积累经验，形成方法思想体系）

6、巩固练习：

已知实数x,y满足(x3)2y24，求解下列各式的最大和最小值：

（1）

x2y2；

（2）y；

（3）

xy

x（设计意图：巩固所学数学思想方法，其中（3）可据情给予适当提示，也为后续线性规划的学习种一料籽）

7、布置作业：

1、（必做）已知实数x,y满足xy30，

（1）、求x2(y1)2的取值范围；（2）、若1x2，求y的取值范围；

x2、（必做）教材P115 T7：已知a,b,c,dR，求证：对于任意的p,qR，都有

(ap)2(bq)2(cp)2(dq)2(ac)2(bd)2

3、（选做）教材P144 T4：求由曲线x2y2=|x||y|围成的图形的面积。

（设计意图：尊重、挖掘教材，但由于后一道题含绝对值符号，提高了难度，由学生自由选择，次日可适当点评，因材施教）

五、教学评价

估计学生能够较好的理解和掌握本节课的主要内容，但是由于此类问题基本上属于教材中的B组题，有一定思维难度，故特意安排一节习题课，以期重点突出、难点突破，但题型训练对后进生而言，仍不足够。好在后续的“线性规划”学习中可继续反复加强。