3.2.2 直线的两点式方程第二课时教学实录

《直线的两点式方程》教学设计

课题

3.2.2直线的两点式方程

1、知识与技能

教材

普通高中人教A版

（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；

（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法

教学

目标

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观

（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。

[来源学科网]

重点

难点

教法

学法

教学重点：直线方程两点式和截距式

教学难点：关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形.

教法：设疑法，启发法

学法：学生独立思考为中心，启发探究为主线

教学手段

多媒体辅助教学

ZXXK]教学过程与教学内容

(一)导入新课

1.利用点斜式方程求解直线方程：

设计意图

特殊到一般：

让学生在应用旧知识的探究过程中获得到(1)已知直线过求直线方程。

新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、(2)已知两点其中求直线方程。应用获得新知识的特点。

。

（二）活动:探究新知

①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不

能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐

标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师

生共同归纳：

已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：

a.利用直线的斜率公式求出斜率k;

b.利用点斜式写出直线的方程.

yy1∵x1≠x2,k=2, x2x1∴直线的方程为y-y1=

y2y1(x-x1). x2x1∴l的方程为y-y1=y2y1(x-x1).①

x2x1yy1xx1.②

y2y1x2x1当y1≠y2时,方程①可以写成由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式. 注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x1≠x2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x1≠x2且y1≠y2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1. ③引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程. 因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得y0xa.①

b00axy就是=1.②

ab注意：②这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距. 因为方程②是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离. ⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果：①若x1≠x2且y1≠y2,则直线l方程为yy1xx1. y2y1x2x1②当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.

引导学生发现需要注意的细节问题，培养学生思维的严谨性。

分组讨论，培养学生合作探究精神。

xy

④=1.

ab⑤a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵

坐标，而不是距离.

⑥截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，

即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.

应用示例

例1

求出下列直线的截距式方程：

（1)横截距是3，纵截距是5；

（2)横截距是10，纵截距是-7；

（3)横截距是-4，纵截距是-8.

③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x1≠x2,y1≠y2). 答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.

变式训练

已知Rt△ABC的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程. 答案：4x-3y+12=0.

例2

如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程. [来源:学§科§网Z§X§X§K]

提高难度，进一步提升学生数学思维能力。

图1

活动:根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选

用截距式.

解：AB所在直线的方程，由两点式,得

y0x(5),即3x+8y+15=0. 303(5)

5BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0. 3xy=1,即2x-5y+10=0. AC所在直线的方程，由截距式,得52

变式训练

已知直线l在y轴上的截距是-3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程。

巩固提高

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

考查学生截距与距离的区别。

课堂小结

本节课学习了直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，要求能运用这两种形式求出直线的方程。通过本节课的学习，理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础，同时树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

作业

（1）已知点A (7 , – 4)，B (– 5 , 6)，求线段AB的垂直平分线的方程。

（2）求过点P (1 , 2) 且到两坐标轴的截距相等的直线方程。

（3）求过点P (1 , 2) 且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积最小的直线方程。

3.2.2直线的两点式方程

直线方程的两点式

板

书

yy1xx1（x1≠x2，y1≠y2）

y2y1x2x1适用范围：斜率存在，且不为0。

教学

反思

1、

学生数学基础差异较大时，设计整节课时要由浅入深、层层递进。

2、

要多设置问题让学生都参与其中，让学生敢于质疑。

3、

提出问题要精准，便于学生数学能力的提升