二、圆锥曲线的离心率与统一方程教案板书设计

离心率的五种求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1．

一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式ec来解决。

ax2例1：已知双曲线2y21（a0）的一条准线与抛物线y26x的准线重合，则该双曲线的离心a率为（

）

32336

B.

C.

D.

23223a2c2132解：抛物线y6x的准线是x，即双曲线的右准线x，则2c23c20，2cc2A. 解得c2，a3，ec23，故选D a3

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（

）

3211

B.

C.

D.

4324解：由F11,0、F23,0知

2c31，∴c1，又∵椭圆过原点，∴ac1，ac3，∴a2，c1c1，所以离心率e.故选C. a2A. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（

）

A. 336

B.

C.

D 2

222c3，因此选C a2解：由题设a2，2c6，则c3，ex2y2变式练习3：点P（-3，1）在椭圆221（ab0）的左准线上，过点P且方向为a2,5的ab光线，经直线y2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（

）

A 1132

B

C

D

33225x3，关于y2的反射光线（对称关系）为5x2y50，2解：由题意知，入射光线为y1a2c33则c解得a3，c1，则e，故选A a35c50二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。

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离心率的五种求法

x2y2例2：已知F1、F2是双曲线221（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，ab若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（

）

31

D. 31

2c解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为，由焦半径公式2PF1expa，

A. 423

B. 31

C. 2cccc即ca，得220，解得

a2aace13（13舍去），故选D ax2y2变式练习1：设双曲线221（0ab）的半焦距为c，直线L过a,0，0,b两点.已知原点到ab直线的距离为3c，则双曲线的离心率为(

) 4A. 2

B. 3

C. 2

D. 23

3解：由已知，直线L的方程为bxayab0，由点到直线的距离公式，得aba2b2423c，

422224又cab, ∴4ab3c,两边平方，得16aca3c，整理得3e16e160，

2224c2a2b2b22212e4，∴e2，故选A 得e4或e，又0ab

，∴e2，∴223aaa22变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120，则双曲线的离心率为（

）

A

03

B 663

C

D

233解：如图所示，不妨设M0,b，F1c,0，F2c,0，则

MF1MF2c2b2，又F1F22c，

在F1MF2中，

由余弦定理，得cosF1MF2

MF1MF2F1F22MF1MF2222, b2c211c2b2c2b24c2即，∴，

22222bc22cb第

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离心率的五种求法

3a216222e3a2c∵bca，∴2，∴，∴，∴，故选B e22222ca222三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：ec2c2c2c121

a2aPF1PF222c2c21四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2例4：设椭圆221（a0,b0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1ab且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是

.

解：如图所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵ADl1于D，∴AD为F1到准线l1的距离，根据椭1ABAF112

圆的第二定义，eADAD2变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（

）

A 2

B 122

C

D

224解：eAF2AD222

12五、构建关于e的不等式，求e的取值范围

例5：设0,，则二次曲线x2coty2tan1的离心率的取值范围为（

）

41221,2A.

B. ,

C. 

D. 2,

222222另：由xcotytan1，0,22，得atan，bcot, 4c2tancot1cot2

∴cabtancot,∴e2tana2222∵0,

22，∴cot1,∴e2，∴e2，故选D 4第

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离心率的五种求法

例6：如图，已知梯形ABCD中，AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当23时，求双曲线离心率e的取值范围。

34解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记Ac,0，C,h，Ex0,y0，其中cc21AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

2

c由定比分点坐标公式得x0c2222c，yh，设双曲线的方程为xy1，则离01211a2b2cc2h21①

心率e，由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程得a4a2b2c2将点E的坐标代入双曲线方程得4a2h2221②

1b122ce2h2h2e21，∴21③

再将e①、②得a4b24be24h2221④

1b122e24412，∴123，由题设23得：

将③式代入④式，整理得34e2423312，解得7e10，所以双曲线的离心率的取值范围为3e24

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7,10

离心率的五种求法

配套练习

x2y21. 设双曲线221（a0,b0）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y24x的准线重合，ab则此双曲线的方程为（

）

x2y21

A. 1224x2y21

B. 4896x22y21

C. 33x2y21D. 36

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（

）

A．

1

3B．3

3

C．1

2

D．3

24x2y23．已知双曲线221的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（

）

3abA 5435

B

C

D

33244．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A 2

B 122

C

D

2241，则该双曲线的离心25．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为率为（

）

A 2

B 2

C 22

D 22

x2y26．如图，F1和F2分别是双曲线221（a0,b0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1

ab为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（

）

A

3

B 5

C 5

2

D 31

x2y27. 设F1、F2分别是椭圆221（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为ab半焦距）的点，且F1F2F2P，则椭圆的离心率是（

）

A 131

B

C 22512

D

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离心率的五种求法

x2y28．设F1、F2分别是双曲线221的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2900，且abAF13AF2，则双曲线离心率为（

）

A 5

2

B 10

2

C 15

2

D 5

x2y209．已知双曲线221（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的ab右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（

）

A 1,2

B 1,2

C

2,

D 2,

x2y210．椭圆221（ab0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若abMN2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（

）

1A．0,

2

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2B．0,2 1

C．,1

22,1D．

2

离心率的五种求法

ca2答案：1.由3,1可得a3,b6,c3.故选D ac2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴

a2b，椭圆的离心率ec3，选D。

a2b4c324253.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,可得e,故选A a3a33x2y22b2a222且c1，据此求出e＝4.不妨设椭圆方程为221（ab0），则有

acab2x2y22b2a212且c，据此解得e＝2，选C 5.不妨设双曲线方程为221（a0，b0），则有ac2abx2r26.解析：如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以abOF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴

2a(31)c，双曲线的离心率为13，选D。

a2a2c2,3c）7.由已知P（，所以2c(

c)2(3c)2化简得a22c20eca2．cx2y28.设F1，F2分别是双曲线221的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，ab2c|AF1||AF2|10，∴

离心率设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a|AF1||AF2|2，e10，选B。

222x2y2o9.双曲线221(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只ab有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率bb，∴

≥3，离心率aac2a2b2≥4，∴

e≥2，选C e=2aa22x2y2a2210.椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，若|MN|，abca22，选D |F1F2|2c，MN≤F1F2，则2c，该椭圆离心率e≥c2第

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