1.2.1 充要条件公开课教案

1.2.2充要条件 (一)教学目标

1.知识与技能目标：

（1）理解充分条件、必要条件与充要条件的意义。

（2）结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法。

（3）能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，建立合适的思维模型，培养学生思维能力的严密性品质。

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、定义法的推导；2、集合法的应用

难点：包含关系与充要条件的证明。

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：培养学生正向与反向思维，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质。

（三）教学过程

学生探究过程：

1、新知提炼

（1）充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

条件关系

“若p，则q”是真命题

pq

p是q的充分条件

q是p的必要条件

“若p，则q”是假命题

qp

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

2、思路构建

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．

(2)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．

(3)充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

注：

p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 3、问题、探讨下列生活中名言名句的充要关系。 （1）水滴石穿。 （2）有志者事竟成。

（3）春回大地，万物复苏。

（4）玉不琢，不成器。

（5）履行义务是道德完善的 条件

4、自我尝试

1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(

) (2)“x>－1”是“x>0”的充分不必要条件．(

) (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(

)

(4)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(

) 5、探究点1 充分、必要、充要条件的判断

例1：下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

2(2)p：m＞0，q：x＋x－m＝0有实根；

(3)p：在△ABC中，A≠60°，q：sin A≠3；

2(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

【解】

(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．

22(2)因为m＞0⇒方程x＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m＞0，即方程有实根，方程x＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇒/m＞0，所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为在△ABC中，A≠60°⇒/sin A≠3⇒A≠60°，

2所以p是q的必要不充分条件．

A≠/四边形是平行四边形，四边形的对角线相等⇒(4)因为

四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等，33(A＝120°时，sin A＝)，在△ABC中，sin 22所以p是q的既不充分也不必要条件．

6、方法归纳：（充分、必要、充要条件的判断方法）

(1)定义法

若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法 若A⊆B，则p是q的充分条件，若B

不必要条件

A，则p是q的充分若B⊆A，则p是q的必要条件，若A

不充分条件

B，则p是q的必要若A＝B，则p，q互为充要条件

若AB且B

A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. (3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断。

7、跟踪训练

1、已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则

（1）s是q的什么条件？（充要条件）

（2）r是q的什么条件？（充要条件）

（3）P是q的什么条件？（必要条件）

注：定义法（图形分析）

2、指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

2(2)p：x＋x－2＞0，q：|x－2|＜1；

(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0．

解：(1)因为p⇒q，q⇒/p，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)|x－2|＜1⇔－1＜x－2＜1⇔1＜x＜3；x2＋x－2＞0⇔x＜－2或x＞1．

由于(1，3) ⊆ (－∞，－2)∪(1，＋∞)，

2所以“x＋x－2＞0”是“|x－2|＜1”的必要不充分条件．

(3)因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，

所以p是q的充要条件．

(4)因为a·b＝0时，|a·b|＝a·b，

所以“|a·b|＝a·b”⇒/“a·b＞0”，即p⇒/q．

而当a·b＞0时，有|a·b|＝a·b，即q⇒p．

所以p是q的必要不充分条件．

8、探究点2 充分条件、必要条件、充要条件的应用

例2：已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【解】

p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的必要不充分条件，

所以q是p的充分不必要条件，

即{x|1－m≤x≤1＋－2≤x≤10}，

1－m≥－21－m＞－2故有或，

1＋m＜101＋m≤10解得m≤3．

又m＞0，

所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．

变式1：若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

因为p是q的充分不必要条件，

设p代表的集合为A，q代表的集合为B，

所以A⊆B．

1－m≤－21－m＜－2，所以或

1＋m＞101＋m≥10.解不等式组得m＞9或m≥9，

所以m≥9，

即实数m的取值范围是m≥9．

变式2：本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．

－2＝1－m若p是q的充要条件，则，m不存在．

10＝1＋m故不存在实数m，使得p是q的充要条件．

9、方法归纳：

由条件关系求参数的取值(范围)的步骤

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．

10、跟踪训练

1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．

解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，

由于q是p的充分条件，

a－4≤2，故有解得：－1≤a≤6．

a＋4≥3，2．若p：x＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

2解析：p：x＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3．

1q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－．

a111由题意知p⇒/q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，解得a＝－aa21或a＝．

311综上可知，a＝－或a＝．

2311、探究点3 充要条件的证明

2例3：求证：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．

【证明】

充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)

2

因为ac<0，

22所以一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b－4ac>0，

所以方程一定有两不等实根．

c设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，

a所以方程的两根异号．

2即方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 2因为方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2c＝<0，即ac<0．

a综上可知：一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．

12、充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

跟踪训练（回家思考）： (2018·福建泉州永春一中期中考试)已知数列{an}的前n项和2为Sn＝(n＋1)＋c，探究数列{an}是等差数列的充要条件．

2解：当{an}是等差数列时，因为Sn＝(n＋1)＋c，

所以当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，

所以an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，所以an＋1－an＝2为常数．

又a1＝S1＝4＋c，所以a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c．

因为{an}是等差数列，

所以a2－a1＝2，所以1－c＝2，所以c＝－1．

2反之，当c＝－1时，Sn＝n＋2n，

可得an＝2n＋1(n∈N*)，所以{an}为等差数列，

所以{an}为等差数列的充要条件是c＝－1．

13、课堂小结（图示）

14、作业（略）

2