习题2.3教案设计（一等奖）

圆锥曲线的离心率教学设计

【教材分析】

《圆锥曲线的简单几何性质—离心率》是高中数学教材人教版选修2-1第二章的内容.在学习了圆锥曲线的定义及标准方程的基础上，结合圆锥曲线的标准方程及图形来理解a,b,c,e的代数意义和几何意义，这样的设计为本章最后圆锥曲线的共同特征做了铺垫，为从整体的角度认识圆锥曲线提供了重要的学习经验.

离心率是圆锥曲线的重要的性质，是高中数学课程的重要内容，也是高考必考内容。本节课主要研究的是怎样求离心率，求离心率的范围，又给出了离心率的应用，使学生对椭圆的离心率这一概念有较深的理解，培养学生分析问题，解决实际问题的能力。

【教学目标】

1知识与技能

(1)掌握离心率的定义，掌握圆锥曲线离心率的求法，体会圆锥曲线既有几何性质又有标准方程 （2）

理解离心率范围问题如何建立不等关系，识记常用结论 (3)理解离心率的几何意义.

2过程与方法

通过动手实践和对知识的探究过程，让学生体会数学来源于是实践又用于指导实践以及数形结合的思想方法.

根据本节课的内容和学生的实际水平，采用引导启发、诱导贯穿于始终，调动学生积极性，发挥学生主体作用，利用讲练相结和。在短时间内提高学生分析问题，解决问题的能力.

3情感态度价值观

通过动手实践和对知识的探究过程养成细心观察，发现问题，认真分析，解决问题，总结提升的良好学习习惯. 【教学重难点】

重点：离心率的定义及求法. 难点：如何找几何关系及求离心率的范围. 【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：从感性认知到理性认知，在动手实践中观察思考，让学生突破难点. 【学法分析】

在教学过程中，教师通过动手实践及展台的演示，让学生先做发现问题，进而解决问题，分析研究后得出结论，整个过程让学生处于主动参与、积极思考、探索尝

试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯. 【学情分析】学生已经理解了圆锥曲线的离心率的定义，已初步掌握求圆锥曲线的离心率的方法，具有一定的数形结合的能力。

【教学过程】

课时安排1课时，教学用具多媒体教学，实物展台

1 复习回顾：

圆锥曲线的定义和方程

设计意图：为定义和方程的应用做准备

2教学过程

：

典型例题：

一．求离心率的值

x2y2b例1：椭圆221的右焦点F(c,0)关于直线yx的对称点Q在椭圆上，则求cab椭圆的离心率。

师生活动：学生分析解题思路

例2：设F1,F2分别是椭圆E:xy1的左右焦点，过点F1的直线交椭圆E于a2b2223A,B两点，|AF1|3|BF1|，若cosAF2B，求椭圆E的离心率。

5

【分析】题目有点像焦点弦中的关于倾斜角，离心率，比例的公式，但是不知道AF1F2的余弦值，因此不

能够直接用公式，题目给出的图像是两个焦点三角形，因此考虑从第一定义入手，题目中给出了另外一个

角的余弦值，由于焦点三角形中三边中包含离心率所需的参数，结合三边长试一下余弦定理。

x2y2例3：在平面直角坐标系xoy中，双曲线C1:221的渐近线与抛物线abC2:x22py(p0)交于点O,A,B，若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为____________.

【解析】题目中未出现焦点三角形，则与定义无关，且A,B均不在双曲线上，因[来源学科网]此求点坐标无用，题目双

曲线中唯一出现的与a,b,c有关系的量就只有渐近线了，因此题目中必定用到渐近线方程，题目中还给出了[来源:Zxxk.Com]

垂心的概念，因此垂直关系就很明显了。而题目中的等量关系就是垂直，例如AFOB，因此可采用斜率

乘积为-1来求，但是需要求出点B的坐标，点B的坐标是渐近线方程和抛物线的交点，因此联立即可：

2pbx22pyx2pb2pb22pb2pb2aA(,2),B(,2)

b2aaaayxy2pbaa2kOB.kAFb25312e

a42例4：已知A,B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形且顶角为120，则E的离心率为_________.

上图中A,B两点不是焦点，AB2a,且条件中没有b和c的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含a,b的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。

小结：

二、求离心率范围的问题

和求离心率的值相似，求解离心率的取值范围问题依旧是需要建立一个不等关系，且不等关系中含有a,b,c或数字的形式，至于如何建立不等关系，可总结为四种思考方向：

1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手，以椭圆为例：焦半径的取值范围为acPF1ac. x2y2例5：椭圆221的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在ab一点P，满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_________.

【解析】题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线的性质AFPF，让求e的范围我们需要构造一个不等关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和变量a2c为定值，PF是焦半径为变量，因此进行比较，很显然AFca21acPFac，所以得出不等关系accac解得e1

2cx2y2例6：双曲线221的两个焦点分别是F1,F2，若P是其上的一点，且ab|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率的取值范围是________.

【解析】（两种方法）

方法一：PF1PF22a，且|PF1|2|PF2|，则PF14a,PF22a

因为P不确定，但是可知P不可能是右支的顶点，所以P,F1,F2构成三角形，

则PF1PF2F1F2，即6a2c，解得1e3

方法二：注意到PF1,PF2均为焦半径，点P在右支上，且PF22a

所以根据在双曲线中焦半径的取值范围可知PF2ca即2aca

解得1e3

x2y2例7：已知双曲线221的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为_________.

【解析】过双曲线的右焦点可能与右支的交点个数为1个或2个，取决于这条直线和右渐近斜率的关系，如果这条直线的斜率为k小于等于右渐近线y的斜率，则与右渐近线只有一个交点，如上图所示可得可求出e2

bxab3，解不等式a3课堂小结：圆锥曲线真可爱

双重身份很绝妙

找关系时莫着急 想算长度用定义

要算坐标用方程 巧用结论心欢喜

4教学反思: 方法反思：1.利用定义，挖掘隐含信息有助于解题。

2.利用曲线变量范围对离心率的影响，可优化解题。

3.利用直线与圆锥曲线的位置关系，列出相应不等式可迅速解题。

4.数形结合法，利用平面几何性质简化运算，合理转化。

效果反思：

通过对离心率的定义再次复习，让学生理解离心率求解方法，再次介绍离心率的应用。通过典型例题的分析，告诉学生处理类似问题的解法。还有需要改进地方，让学生分析，讨论，增强解决问题，多思考，多想办法。 5课后练习：

1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的焦点F1,F2在x轴上，离心率为2．过F1的2直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为 ．

2.【2011，7】设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）

A．2 B．3 C．2 D．3 x2y23.【2017，15】已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆ab心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________．

x2y24．【2012，4】设F1、F2是椭圆E：22（ab0）的左、右焦点，P为直ab3a线x上一点，

2的等腰三角形，则E的离心率为（ ）

F2PF1是底角为30°1234A． B． C． D．

2345x2y25.(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(

) 1A.3

1B.2 2 C.3 3 D.4

板书设计：

课题

1.

2.

3.

学习目标

教学过程 课堂小结