3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计案例

三元整合导学模式数学学科导学稿（学生版）

主编人：何爱莲

审稿人：

定稿日：2018-12-24 协编人：

使用人：

一、课题：空间向量运算的坐标表示（人教A版数学新课标选修修2——1 P92—96）

二、学习目标：

1、会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。

2、记忆空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式。

3、理解空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律。 4、会根据向量的坐标来解决两个向量共线或垂直的问题．

共两课时，姊妹课，第一节自主，第二节探究。

三、学习内容

编号

SXX2133 （一）回忆原有知识：设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) ，

1、a∥b (b0)的充要条件是x1y2x2y10.

2、两非零向量a、b的数量积等于它们对应坐标之积的和.即ab=x1x2y1y2

3、向量垂直的判定：设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则abx1x2y1y20

ab4、两向量夹角的余弦（0）： cos =|a||b|x1x2y1y2x1y122x2y222

（二）学习新知识

请同学们自学教材第 92 -- 97 页的内容，并完成以下任务。

b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，1、空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c都叫做基向量. 使得pxaybzc. 把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、

2. 向量的直角坐标运算：设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝ ；

⑵a－b＝ ；

aa⑶λ＝ (R)；

⑷·b＝

3. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

aaa⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)123；

b1b2b3⑵a⊥ba·b=0 ．

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4、填空

（1）

向量的模：设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，求这两个向量的模. ｜a｜＝ ，｜b｜＝ ．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

（2）

夹角公式推导：∵

a·b＝

∴

a1b1a2b2＝abaaa·bbb·cos＜a,b＞

212223212223由此可以得出：cos＜a,b＞＝

这个公式为两个向量的夹角公式．可以用来求两个向量的夹角，并可以

进一步得出两个向量的某些特殊位置关系： 当cos＜a,b＞＝1时，a与b同向；

当cos＜a,b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a,b＞＝0时，a⊥b．

（3）. 两点间距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则

AB(x2x1)2(y1y2)2(z1z2)2，其中dAB表示A与B两点间的距

（三）强化训练

1、已知：a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．

解：

2、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1求BE1与DF1所成的角的余弦值．

分析：如何建系？

→

点的坐标？

→

如何用向量运算求夹角？

变式：如图（例5的图），在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是BB1、D1B1

的中点，求证：EFDA1

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A1B1，

4

3、已知三角形的顶点是A(1,1,1)，B(2,1,1)，C(1,1,2)，试求这个三角形的面积。

分析：可用公式S

（四）学习小结

（五）选做练习

4、已知向量a,b,c是空间的一个基底，从a、b、c中选哪一个向量，一定可以与向量

1|AB||AC|sinA来求面积

2pab,qab构成空间的另一个基底？

5、已知O、A、B、C

为空间四点，且向量OA、OB、OC不够成空间的一个基底，

那么点O、A、B、C是否共面？

6、已知平行六面体OABCO1A1B1C1,点G是侧面BB1C1C的中心，且

OAa,OCb,OO1c,用a、b、c表示下列向量：

（1）OB1，BA1，CA1 （2）OG

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7、已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量ab,ac,c是空间的另一个基底。

若向量p在基底a,b,c下的坐标为(1,2,3),求p在基底ab,ab,c下的坐标。

8、正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AB的中点，

求DB1与CM所成角的余弦

9、已知a(2,3,1),b(2,0,3),c(0,0,2).求; (1)a(bc); （2）

a6b8c.

10、已知a(2,1,3),b(4,2,x).（1）、若ab,求x的值；（2）、若a//b,求x的值。

12、已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点距离相

等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件．

说明：

⑴中点坐标公式：OM(OAOB)＝(12x1x2y1y2z1z2,,)；

222⑵线段AB中点P的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方

程的图形是平面．

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