阅读与思考 “且”“或”“非”与“交”“并”“补”优秀教案

§1.3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

最新考纲

考情考向分析

逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2.理解全称量词和存在量词的意义．

3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度.

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p 真

真

假

假

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称

全称命题

特称命题

语言表示

对M中任意一个x，有p(x)成立

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

符号表示

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) q 真

假

真

假

p且q 真

假

假

假

p或q 真

真

真

假

非p

假

假

真

真

知识拓展

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．

(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．

(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．(

√

) (2)命题p和綈p不可能都是真命题．(

√

) (3)若命题p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(

√

) (4)“全等三角形的面积相等”是特称命题．(

×

) (5)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题．(

×

) 题组二

教材改编

2．[P18B组]已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(

) A．1 C．3 答案

B 解析

p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．

3．[P28T6(4)]命题“正方形都是矩形”的否定是_______________________________．

答案

存在一个正方形，这个正方形不是矩形

题组三

易错自纠

4．已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．2 D．4

解析

由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件，故选A. 5．下列命题中，为真命题的是(

) A．∀x∈R，－x2－1<0 2B．∃x0∈R，x0＋x0＝－1 1C．∀x∈R，x2－x＋>0 4D．∃x0∈R，x20＋2x0＋2<0 答案

A π0，，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

6．若“∀x∈4答案

1 π0，上是增函数，

解析

∵函数y＝tanx在4π∴ymax＝tan＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1. 4∴m的最小值为1.

题型一

含有逻辑联结词的命题的真假判断

11．设命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x的值域3＋1为(0,1)，则下列命题是真命题的为(

) A．p∧q

C．p∧(綈q)

答案

B 解析

函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．

1由3x>0，得0

3＋11所以函数y＝x的值域为(0,1)，

3＋1故命题q为真命题．

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B. 2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为B．p∨q

D．綈q

真命题的是(

) A．p∧q

C．(綈p)∧q

答案

B 解析

∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln(x＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p为真命题，∴綈p为假命题．

∵a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，

此时a2＜b2，

∴命题q为假命题，∴綈q为真命题．

∴p∧q为假命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B. 3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：

①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(綈p)∨(綈q)为假．

其中，正确的是________．(填序号) 答案

②

解析

命题p是假命题，这是因为α与γ也可能相交；命题q也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．

思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．

题型二

含有一个量词的命题

命题点1

全称命题、特称命题的真假

典例

(2017·韶关南雄二模)下列命题中的假命题是(

) A．∀x∈R,2x1>0 －B．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q) B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x0∈R，tanx0＝2 C．∃x0∈R，lgx0<1 答案

B 解析

当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.

命题点2

含一个量词的命题的否定

1x典例

(1)命题“∀x∈R，3＞0”的否定是(

) 1x0A．∃x0∈R，3＜0 1xC．∀x∈R，3＜0 答案

D 解析

全称命题的否定是特称命题，“>”的否定是“≤”．

(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定形式是(

) A．∀x∈R,1＜f(x)≤2 B．∃x0∈R,1＜f(x0)≤2 C．∃x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2 D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2 答案

D 解析

特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．

思维升华

(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(2)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练

(1)下列命题中的真命题是(

) 3A．∃x0∈R，使得sinx0＋cosx0＝

2B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 C．∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0

D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx

答案

B π3x＋≤2<，故A错误；设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1，解析

∵sinx＋cosx＝2sin

42∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(0)＝0，

∴∀x∈(0，＋∞)，f(x)>0，即ex>x＋1，故B正确；

π0，时，sinx

) (2)(2017·福州质检)已知命题p：“∃x0∈R，－1xB．∀x∈R，3≤0 1x0D．∃x0∈R，3≤0 e

ex0

A．∃x0∈R，－x0－1≥0 B．∃x0∈R，－ex0x0－1>0 C．∀x∈R，ex－x－1>0 D．∀x∈R，ex－x－1≥0 答案

C 解析

根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C. 题型三

含参命题中参数的取值范围

典例

(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．

答案

[－12，－4]∪[4，＋∞) 解析

若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，

即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，

a则－≤3，即a≥－12. 4∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，

∴a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．

1x(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝2－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．

1，＋∞

答案

4解析

当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，

1g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，

411得0≥－m，所以m≥. 44引申探究

本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

1答案

2，＋∞

1解析

当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

211由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 22思维升华

(1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求

解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

1跟踪训练

(1)已知命题“∃x0∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范002围是(

) A．(－∞，－1)

C．(－3，＋∞)

答案

B 1解析

原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)221－4×2×＜0，则－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3. 22(2)已知p：∃x0∈R，mx20＋1≤0，q：∀x∈R，x＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数mB．(－1,3) D．(－3,1) 的取值范围是(

) A．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案

A 解析

依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，

则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2. 因此由p，q均为假命题，

m≥0，得即m≥2. m≤－2或m≥2，B．(－∞，－2]

D．[－2,2]

常用逻辑用语

考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．

一、命题的真假判断

典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“lna＞lnb”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立．当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立．

答案

B

2(2)(2018届全国名校大联考)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x0∈R，x30＝1－x0，则下列命题中为真命题的是(

) A．p∧q

C．p∧(綈q)

B．(綈p)∧q

D．(綈p)∧(綈q) 解析

若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，

∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，

∴(綈p)∧q是真命题．

答案

B

二、充要条件的判断

2x＋x≥0典例2 (1)(2017·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知命题甲是“xx－1

”，命题乙是“{x|log3(2x＋1)≤0}”，则下列说法正确的是(

) A．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

B．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

x2＋x解析

≥0等价于x(x＋1)(x－1)≥0且x≠1，

x－1解得－1≤x≤0或x>1. 1由log3(2x＋1)≤0，得0<2x＋1≤1，得－

B (2)(2017·湖北七市联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．设p：0＜r＜3，q：圆C上至多有2个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

|1－3×0＋3|解析

圆C：(x－1)2＋y2＝r2的圆心(1,0)到直线x－3y＋3＝0的距离d＝＝2.2当r∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C上没有到直线的距离为1的点；当r＝1时，直线与圆相离，圆C上只有1个点到直线的距离为1；当r∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r＝2时，直线与圆相切，圆C上有2个点到直线的距离为1；当r∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C上有2个点到直线的距离为1.综上，当r∈(0,3)时，圆C上至多有

2个点到直线的距离为1，又由圆C上至多有2个点到直线的距离为1，可得0＜r＜3，故p是q的充要条件，故选C. 答案

C 三、求参数的取值范围

典例3 (1)已知命题p：∀x∈[0,1]，a≥ex，命题q：∃x0∈R，x2若命题“p∧q”0＋4x0＋a＝0，是真命题，则实数a的取值范围是__________．

解析

命题“p∧q”是真命题，p和q均是真命题．当p是真命题时，a≥(ex)max＝e；当q为真命题时，Δ＝16－4a≥0，a≤4，所以a∈[e,4]．

答案

[e,4] 14(2)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈2，3，∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2)，则实数xa的取值范围是________．

1解析

∵x∈∴f(x)≥2 2，3，4x·＝4，当且仅当x＝2时，f(x)min＝4，当x∈[2,3]时，g(x)minx＝22＋a＝4＋a，依题意知f(x)min≥g(x)min，即4≥a＋4，∴a≤0. 答案

(－∞，0]

1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是(

) A．p∨q为真

C．p真q假

答案

D 解析

∵p假，q假，∴p∨q为假．

ππ2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对22称，则下列判断正确的是(

) A．p为真

C．p∧q为假

答案

C 2ππ解析

函数y＝sin2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cosx的对称22轴，故命题q为假命题，故p∧q为假．故选C. B．綈q为假

D．p∨q为真

B．p∧q为真

D．p∨q为假

23．(2017·唐山一模)已知命题p：∃x0∈N，x30

) A．p假q真

C．p假q假

答案

A 解析

对∀x∈N，x3≥x2，∴p假，

又当x＝2时，f(2)＝loga1＝0，

∴f(x)的图象过点(2,0)，∴q真．

4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(

) A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x) C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0) 答案

C 解析

由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题．

15．(2017·安庆二模)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋＞3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2＞x02x，则下列命题为真的是(

) A．p∧(綈q)

C．p∧q

答案

A 117解析

对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝＞3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4x04时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(綈q)为真命题，故选A. 6．已知命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cosα；命题q：∀x∈R，x2＋1＞0，则下列结论正确的是(

) A．p∧q是真命题

C．綈p是真命题

答案

A π解析

对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，

2

B．p真q假

D．p真q真

B．(綈p)∧q

D．(綈p)∨q

B．p∧q是假命题

D．綈q是真命题

所以命题p是真命题；

对于命题q：因为x2≥0，所以x2＋1＞0，所以q是真命题．

由此可得p∧q是真命题．

7．下列命题中，真命题是(

) e00 A．∃x0∈R，≤B．∀x∈R,2x＞x2

aC．a＋b＝0的充要条件是＝－1 bD．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”的充分条件

答案

D 解析

因为y＝ex＞0，x∈R恒成立，所以A不正确；

因为当x＝－5时，25＜(－5)2，所以B不正确；

－xa“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；

b当a＞1，b＞1时，显然ab＞1，D正确．

8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是(

) A．(0,4]

C．(－∞，0]∪[4，＋∞)

答案

D 解析

因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，

所以綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋1＜0，

a＞0，则a＜0或解得a＜0或a＞4. 2Δ＝a－4a＞0，09．命题“∃n0∈N，n20＞2”的否定是________________．

B．[0,4]

D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

n答案

∀n∈N，n2≤2n

10．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________. 答案

0 解析

若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“∀x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0. 11．以下四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x0∈Q，x2③∃x0∈R，x2④∀x∈R,4x2>2x0＝2；0＋1＝0；－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

答案

0

解析

∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，

∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题；

当且仅当x＝±2时，x2＝2，

∴不存在x0∈Q，使得x20＝2，∴②为假命题；

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

故真命题的个数为0. 12．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋____________．

5答案

6，＋∞

解析

由“∀x∈R，x2－5x＋15a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式215a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是21515x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方，故Δ2215＝25－4×a<0，

255解得a>，即实数a的取值范围为6，＋∞. 6

13．已知命题p：－40，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．

答案

[－1,6]

解析

p：－4

q：(x－2)(3－x)>0等价于2

a－4≤2，a－4<2，所以或解得－1≤a≤6. a＋4>3，a＋4≥3，

14．下列结论：

①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(綈q)”是假

命题；

a②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

b③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．

其中正确结论的序号为________．

答案

①③

解析

①中命题p为真命题，命题q为真命题，

所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；

②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；

③正确，所以正确结论的序号为①③.

15．已知命题p：∃x0∈R，ex0－mx0＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．

答案

[0,2]

解析

若p∨(綈q)为假命题，则p假q真．

ex由e－mx＝0，可得m＝，x≠0，

xxex设f(x)＝，x≠0，则

xxex－exx－1exf′(x)＝＝，

x2x2ex当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)＝在(1，＋∞)上是单调递增函数；当01，x≥2)．

x－1(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________________；

(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2, ＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________________．

答案

(1)[3，＋∞)

(2)(1，3]

x2－x＋111解析

(1)因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号x－1x－1x－1成立，所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．

(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，

2a≤3，则

解得a∈(1，3]．

a＞1，