等边三角形的判定课时教案

第1章

三角形的证明

1 等腰三角形

第2课时

等腰三角形的特殊性质和等边三角形

课题

第2课时

等腰三角形的特殊性质和等边三角形

授课人

知识技能

教

学

目

标

1.让学生借助等腰三角形的轴对称性探索并证明其中的相等线段．

2．进一步培养学生的几何直观与推理能力，提高有条理思考与表达的水平.

体会运用全等证明等腰三角形中的相等线段问题，提高学生归纳、总结能力.

熟练应用全等、等边三角形的性质解决问题.

运用三角形全等证明等腰三角形其他相等的线段，养成学以致用的习惯，体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性.

数学思考

问题解决

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

熟练推导等腰三角形中的相等线段，理解等边三角形的性质.

灵活利用等腰三角形有关性质解决问题，规范证明过程.

新授课

课时

课件、三角尺、等腰三角形纸片

（续表）

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

回顾

1.全等三角形有哪些性质和判定方法？

2．什么是等腰三角形？

复习回顾相关知识，为学习新知做好铺垫.

【课堂引入】

1．已知：如图1－1－50，等腰三角形ABC中，AB＝AC. 活动

一：

创设

情境

导入

新课

图1－1－50 完成下列各题：

(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝__∠C__，根据是__等边对等角__．

(2)若AD是△ABC的角平分线，BC＝6，则CD＝__3__，

通过简单的等腰三角形问题，回顾旧知的同时，为新知识的学习做好铺垫，使学生感受到知识的连续性和延展性．

通过动手操作，根据是__三线合一__．

观察、猜测相等线段

(3)若AD⊥BC，∠BAC＝40°，则∠BAD＝__20°__. (4)若BD＝CD，则AD__⊥__BC，∠BAD＝__∠CAD__．

2．在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中线、高线)，你能发现其中一些相等的线段吗？

【探究1】

等腰三角形中的相等线段

1．大胆猜想，探究方法．

让学生再次经历“探索——发现问题1：如何检验你认为相等的线段确实相等？

——猜想——证问题2：用测量的方法可以吗？如果不恰当，你有没有合理明”的过程，进一步体会证明的必要性，的方法？

证明：等腰三角形两底角的平分线相等．

已知：如图1－1－51，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．

求证：BD＝CE. 并且在证明过程中感受证明方法的多样性.

通过此题，检验学生的掌握情况，锻炼学生的思维能力和知识的整合能力．充分发挥小组合作的优势，让每个学生都参与讨论，发现自身存在不足，取长补短．

活动

二：

实践

探究

交流

新知

图1－1－51 方法一：证明：∵AB＝AC(已知)，

∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．

又∵BD，CE是△ABC的角平分线(已知)，

1∴∠1＝∠ABC，

21∠2＝∠ACB(角平分线性质)，

2∴∠1＝∠2(等式性质)．

在△BDC与△CEB中，

∵∠ACB＝∠ABC(已证)，BC＝CB(公共边)，∠1＝∠2(已证)，

∴△BDC≌△CEB(ASA)．

∴∠ABC＝∠ACB(等边对等角)．

又∵BD，CE是△ABC的角平分线(已知)，

∴∠ABC＝2∠3，∠ACB＝2∠4(角平分线性质)，

∴∠3＝∠4(等式性质)．

在△ABD和△ACE中，∵∠3＝∠4(已证)，AB＝AC(已知)，

∠A＝∠A(公共角)，

∴△ABD≌△ACE(ASA)．

通过证明等边三角形的性质，让学∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．

2．规范“证明”，巩固所学．

生进一步体会证明问题3：等腰三角形两腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的必要性，牢记性结论吗？请你证明它们，并与同伴交流．

质，并能灵活应用. 已知：如图1－1－52，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．

方法二：证明：∵AB＝AC(已知)，

是△ABC的中线．

求证：BD＝CE.

图1－1－52 证明：∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的中线，

11∴AD＝AC，AE＝AB，

22∴AD＝AE. 在△ABD和△ACE中，

AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC. ∴△ABD≌△ACE(SAS)．

∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等)．

结论：等腰三角形两腰上的中线相等、高线相等.

3.思维发散，拓展延伸．

在上图的等腰三角形ABC中，

11(1)如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，那么BD＝3311CE吗？如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB呢？由此44你能得到一个什么结论？

11(2)如果AD＝AC，AE＝AB，那么BD＝CE吗？如果AD3311＝AC，AE＝AB呢？由此你得到什么结论？

44(3)为什么等腰三角形有这样的特殊性质？一般的三角形有类似的性质吗？

归纳总结：

1(1)在△ABC中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ABC，∠ACEn1＝∠ACB，就一定有BD＝CE成立．

n11(2)在△ABC中，若AB＝AC，AD＝AC，AE＝AB，那nn么BD＝CE. (3)等腰三角形是轴对称图形．

【探究2】

等边三角形的性质

等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么性质呢？

已知：如图1－1－53，△ABC中，AB＝BC＝AC. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°.

图1－1－53 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．

∵AC＝BC，∴∠A＝∠B(等边对等角)．

∴∠A＝∠B＝∠C(等量代换)．

在△ABC中，

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. 归纳总结：

定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°.

活动

三：

开放

训练

体现

应用

【应用举例】

例1

边长为2的等边三角形内有一点O，那么O到三角形各边的距离之和为(

) A．2

B．2 3

C.3

D．4 3 例2

如图1－1－54，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，连接BE.请找出一对全等三角形，并说明理由．

问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算、证明能力的有效途径.

图1－1－54 【拓展提升】

巩固加深学生例3

已知：如图1－1－55，分别以Rt△ABC的直角边AC，对本课所学知识的BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形ACE和BCF，掌握程度，并且可以

活动

三：

开放

训练

体现

应用

连接BE，AF. 求证：BE＝AF. 检测本节课的授课效果.

图1－1－55 例4

如图1－1－56，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF. (1)求证：BF＝2AE；

(2)若CD＝2，求AD的长．

图1－1－56

【当堂训练】

1．求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．

2.如图1－1－57，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数．

图1－1－57 3．已知：如图1－1－58，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．

练习注意问题的梯度，由浅入深，一步步引导学生活动

四：

课堂

总结

反思

(1)求证：DE＝DF；

从不同的条件中逐(2)如果把条件“DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足”去掉，步获取信息，发展学换成________，则结论DE＝DF仍然成立．

生思维，发展他们的数学应用能力.

图1－1－58 4.已知：如图1－1－59，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD. 求证：∠ABC＝∠ADC.

图1－1－59 第2课时

等腰三角形的特殊性质和等边三角形

例1

证明：等腰三角形两底角的平分线相等．

提纲挈领，重点突出. 投影区

1.等腰三角形的性质：

2．等边三角形的性质：

【教学反思】

①[授课流程反思] 通过复习上节课所学知识引入新课，为本节课探究等腰三角形中的相等线段做好知识铺垫．利用设置问题，引导学生主动探究，体会数学的对称性与实用性．

活动

四：

课堂

总结

反思

②[讲授效果反思] 利用类比方法，探究等腰三角形中的相等线段，学生能够体

反思，更进一步会推导过程，掌握推导方法，感悟探究方法．但是，证明过提升. 程还需规范，教学中要投入较多的时间练习．

③[师生互动反思] 在本节课的教学中，充分发挥学生的能力，通过小组合作探究，引导他们探究解决方法，进而得出结论．

④[习题反思] 好题题号________________________________________ 错题题号________________________________________