直角三角形的性质与判定ppt配用优秀获奖教案

第课时

1.掌握勾股定理及其逆定理,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

进一步掌握推理证明的方法,提高演绎推理能力和思维能力.

【重点】

1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法.

2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立.

【难点】

勾股定理及其逆定理的证明方法.

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习直角三角形的有关性质.

1.让学生在练习本上画出他们观察到的生活中的直角三角形,并分别说出它们的作用.

2.高度评价学生的参与热情和学习成果,激励学生继续努力.可以把其中很有创意的发现以该学生的名字命名,以此激发学生学习的积极性.

3.总结学生的“成果”,启发学生寻找直角三角形的共性.

[设计意图]

通过学生的动手操作活动,激发学生的学习兴趣,并自然地引入课题.

一、勾股定理及其逆定理

[过渡语]

请同学们打开教材第16页,阅读“读一读”,了解一下利用基本事实和已有定理证明勾股定理的方法.

1.勾股定理

已知:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证a2+b2=c2.

证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠BAC,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED.

∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等).

∴四边形ACDE是直角梯形.

∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b)= (a+b)2.

∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°.

∵AB=BE.

∴S△ABE=c2.

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, ∴(a+b) 2=c2 +ab +ab,

即a2 + ab+b2=c2+ab,

∴a2+b2=c2.

教师用多媒体课件演示勾股定理的条件和结论,并强调: 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

2.勾股定理的逆定理

反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能证明此结论吗? 师生共同来完成.

已知:如图所示,在△ABC中,AB2+AC2=BC2.

求证△ABC是直角三角形.

〔解析〕

要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果借助△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,问题就可证.

证明:如图所示,作Rt△A'B'C',使∠A'=90°,A'B'=AB,A'C'=AC,则A'B'2+A'C'2=B'C'2(勾股定理).

∵AB2+AC2=BC2, ∴BC2=B'C'2, ∴BC=B'C', ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS), ∴∠A=∠A'=90°(全等三角形的对应角相等).

因此,△ABC是直角三角形.

定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.

[设计意图]

在教师的引导下,先写出证明过程后,再逆向回顾证明过程,并强化理解勾股定理的逆定理.

二、互逆命题

[过渡语]

观察勾股定理及其逆定理这两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察,学生会发现: 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即第一个定理的条件是第二个定理的结论,第一个定理的结论是第二个定理的条件.

这样的情况,在前面也遇到过.例如“两直线平行,内错角相等”,交换条件和结论就得到“内错角相等,两直线平行”.又如“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”.交换此定理的条件和结论就得到“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”.

观察下面三组命题:学生以分组讨论的形式进行,最后在教师的引导下得出命题与其逆命题的区别与联系:

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流.

不难发现,每组第二个命题的条件是第一个命题的结论,第二个命题的结论是第一个命题的条件.

由此,我们得到逆命题的定义: 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

上面的三组命题,它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题.请同学们判断每组原命题及其逆命题的真假.

在第一组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第二组中,原命题是真命题,而逆命题是假命题.

在第三组中,原命题和逆命题都是真命题.

请学生写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题?它们都是真命题吗? 从而引导学生思考:如果原命题是真命题,那么逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明.

[教师点评]

一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题,如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

如果有些命题,原命题是真命题,逆命题也是真命题,那么我们称它们为互逆定理.

其中逆命题称为原命题(即原定理)的逆定理. 能举例说出我们已学过的互逆定理吗? 如“两直线平行,内错角相等”与“内错角相等,两直线平行”;“全等三角形的对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”;“等边对等角”和“等角对等边”等.

这节课,我们学习了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合具本实例了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,明确原命题成立,其逆命题不一定成立.

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,若b=5,c=13,则a=

;若a=8,b=6,则c=

.

2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD为它的高线,若它的边长为2,则它的周长为

,AD=

,BD∶AD∶AB=

∶

∶

.

3.已知正方形ABCD,AC为它的一条对角线,若AB=2,则AC=

;若AC=2,则AB=

,AC∶AB=

∶

.

4.如图所示,在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,则∠B=

;若∠A=30°,AB=6,则BC=

.

解析:根据三角形内角和定理,得∠B=60°,由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半,得BC=AB=3.

5.(2015·潜江中考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB边上,将△CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若∠A=26°,则∠CDE=

.

6.在长方形纸片ABCD中,AD=4 cm,AB=10 cm,按如图所示的方式折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求DE的长.

7.AB是一段长12 m的墙,用18 m长的网围成一个如图所示的鸡舍,求鸡舍的面积.

第1课时

一、勾股定理及其逆定理

二、互逆命题

一、教材作业

【必做题】

教材第16页随堂练习的1,2,3题.

【选做题】

教材第17页习题1.5的1,2,3题.