直角三角形的性质与判定课堂实录及点评

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直角三角形

第1课时

直角三角形的性质与判定

教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

重点 掌握直角三角形的性质定理及判定定理，勾股定理及其逆定理的证明方法，会识别互逆命题、互逆定理．

难点

勾股定理及其逆定理的证明．

教学过程

一．情景导入

教师出示几个三角形，学生回答问题

1.

这些三角形的内角和是多少度？（回顾三角形内角和定理）

2.

能不能找出其中的直角三角形？（复习直角三角形的定义）

二．新课探究

活动一：

1.

出示刚才找到的直角三角形，观察：两锐角是什么关系？为什么？

（学生思考并口述原因，然后引导分析其说理过程，是基于三角形内角和定理、直角三角形定义证明的，可称为定理，归纳）

2.

如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是什么三角形？（学生口述原因，分析说理过程，是基于三角形内角和定理、直角三角形定义和已知条件，可称为定理，归纳）

(提高学生数学语言的表达与运用能力）

归纳结论

从角的角度：（1）定理 直角三角形两锐角互余。

（两锐角互余是直角三角形的独有的特征，所以以上是性质定理）

（2）定理 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形。

（可用来判断一个三角形是否为直角三角形，是直角三角形判定定理。）

活动二：从边的角度探究

思考：1.直角三角形三条边有什么关系？（三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）

2.直角三角形两直角边的平方与斜边的平方有什么关系?（学生可能会想到勾股定理，引导学生回顾上学期证明勾股定理的一些方法：总统证法、赵爽弦图）

总统证法：

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．

∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

∴四边形ACDE是直角梯形．

11∴S梯形ACDE＝ (a+b)(a+b) ＝

(a+b)2．

22∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，

AB＝BE．

12∴S△ABE＝ c

2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，

1111∴ (a+b) 2＝

c2 + ab + ab, 222212 1212 即 a+ ab + b＝ c+ ab, 222∴a+b＝c

222AACBEbCcaBD实际上，我们利用基本事实和已有定理也能够证明勾股定理，请同学们打开教材第16页，阅读“读一读”，了解利用基本事实和推导出的定理，证明勾股定理的方法，即利用公理化方法证明．

(学生阅读完毕后)目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，课下请同学们搜集一下勾股定理证明的方法.

归纳结论

勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

活动二：

思考：如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结

论．你能证明此结论吗?

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．

已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2

求证：△ABC是直角三角形．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，

则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．

∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′

∴BC2＝B′C′2

∴BC＝B′C′

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．

因此，△ABC是直角三角形．

总结得勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

活动三

互逆命题和互逆定理．

观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

B'C'A'

观察下面三组命题：学生以分组讨论形式进行，最后在教师的引导下得出命题与逆命题的区别与联系。

如果两个角是对顶角，那么它们相等．

如果两个角相等，那么它们是对顶角．

如果小明患了肺炎，那么他一定发烧．

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎．

三角形中相等的边所对的角相等．

三角形中相等的角所对的边相等．

（上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．）

归纳

在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．所有定理都有逆定理只需把条件结论互换位置。

思考

原命题是真命题吗?逆命题一定是真命题吗? 并通过具体的实例说明。

定理都是真命题，如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也是定理，这两个定理称为互逆定理，一个定理称为另一个定理的逆定理。（举例说出我们已学过的互逆定理）

如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等．

三．小结

这节课我们从角的角度和边的角度探究得到直角三角形的性质定理与判定定理，探究过程中掌握了勾股定理及逆定理的证明方法，进一步发展了演绎推理能力，并结合数学和生活中的例子了解互逆命题与互逆定理的概念．