9.4 乘法公式优秀说课稿

9.4乘法公式——平方差公式教学设计2014.04.01

江南中学 陈鑫鑫

一、教材分析 1、从教材的地位与作用看：平方差公式这一内容属于数学再创造活动的结果，它在整式乘法、因式分解、及其代数式的变形中起着十分重要的作用。因此，它是构建学生有价值的数学知识体系并促使学生形成相应数学技能的重要内容，它是让学生感受数学再创造性的好教材。

2、从学生学习过程的角度看：学生刚学过多项式的乘法，已具备学***方差公式的知识结构，通过创设问题情境，让学生探究相应问题，建立并运用公式，从而使得拓展学生知识结构和技能成为可能。

二、教学目标

知识与技能：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用平方差公式进行简单的计算。

过程与方法：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析和归纳能力，培养符号感和推理能力；通过对公式验证，感受代数与几何的内在统一性，感悟数形结合的思想方法。

情感态度与价值观：感受数学魅力，让学生在合作探究的过程中体验成功的喜悦和探索的乐趣；培养学生运用所学知识解决实际问题，服务于生活，服务于社会的意识；培养学生的爱国主义情怀。

三、教学重点：正确运用平方差公式进行计算。

四、教学难点：理解平方差公式，掌握平方差公式的结构特征。

五、教学流程

一、创设情境 激趣引入

师：上周四大家举行了大合唱比赛，合唱的时候要统一服装。现在老师一个问题想考考大家。（可以请个学生来朗读问题）

某班级去商店购买单价是51元/件的衬衫49件，售货员刚拿起计算器，A同学就说出应付2499元，结果与售货员用收银机计算出的结果一样.售货员惊讶地说：“你简直是个小神童，怎么算得这么快？”

师：你能说出A同学神速计算的秘诀吗？

生：（回答）

(若学生能够回答出其他凑整的简便方法，则老师也要给予积极的评价：你们的方法也不错，但是老师心理还有个更快捷简便的算法，大家想不想知道？

若已有个别学生能够运用平方差公式回答出来，则师问：其他同学知道这样计算的依据吗？大部分学生回答：不知道。师：那大家想知道吗？) 设计意图：从生活中的实例引入新课，激发学生的学习兴趣。

二、动手操作，自主探究

师：要想解开这个谜底，就从你手中的这张白纸开始。

听口令：（播放PPT）请在长方形纸片上裁剪出一个正方形，使该正方形的面积最大。剪好以后，标记该正方形的边长为a；

（播放PPT）请在边长为a的该正方形上剪掉一个边长为b(b

生：（沿着对角线对折剪裁、用直尺量等方法）。

师：请用含a、b的代数式表示剩余部分的面积。（教师展示已经画好的剪切后的几何图形。）

22生：a－b、a（a-b）+b（a-b）、(a ＋b)(a －b)。

师：对学生的各种不同作辅助线方法给予补充说明。

师：现在对这部分面积，有三种表示方法，那么这三种表示方法应该是相等的吧？（播放PPT）再请你在该剩余纸片上剪一刀，然后把分成的两部分拼成一个四边形。大家来试一试。

（下去巡视，挑出不同拼法的学生成果，用磁铁贴在黑板上，并请学生用字母a、b标记各条边的长度。）

生：在黑板上操作。

师：待学生成果都已经呈现好以后，师问：还有没有其他不同的方法？ 生：没有。

师：我们来观察一下每位同学标记的对不对？并给予积极评价或纠正。

师：接下来我们请位学生来表示一下不同四边形的面积（表示好以后并化简）。

师：由此，同学们有没有发现，这个式子(a ＋b)(a －b)好像很有特征，一共涉及了几个量？

生：两个

师：哪两个？

生：a和b。

师：那么这个结果都和最初的形式a2－b2、a（a-b）+b（a-b）应该是什么关系？

生：相等关系。

师：那可见这些式子之间首先存在着相等的关系，那我们看，这种形式(a ＋b)(a －b)，就是我们研究的多项式乘多项式，而这两个多项式a+b与a—b之间存在着特殊的关系，只涉及两个量，一个是a，一个是b，那么a+b表示两个量的什么关系呢？

生：和

师： a-b表示两个量的什么关系呢？

生：差

师：两个量的和与这两个量的差的乘积，你们看，和谁相等最简洁？

生：和上面的a2－b2。

师：那么可见(a ＋b)(a －b)现在我们通过图形的剪拼得到它等于a2－b2。（师板书，往下面写一点，上面留空来书写文字语言）

师：那这个结论只是我们通过图形的剪拼得到的，我们能不能通过代数计算的方法来验证一下呢？

生：可以。

师：那我请个同学来回答一下你是怎么计算的？（师板书化简的步骤）

师：这样，通过代数计算的方法，我们也再次验证了符合这样特征的两个多项式相乘，它的结果很简洁，那么这个结果表示什么意义呢？

（师引导学生发现是两个数先平方再求差，就是因为它有这样的特征：两个量，先平方，再求差，所以我们给它一个很形象的名称：平方差，这个等式我们就把它叫做平方差公式。师板书，并且播放PPT）

师：我们来看一下整个等式里面一共涉及到了几个量？

生：两个量。

师：这表示两个量什么运算？

生：和。

师：这个呢？

生：差。

师：和与差之间又进行了什么运算？

生：乘积。

师：结果就等于它们的？

生：平方差。

师：那么请个同学用文字语言来描述一下这个等式。

生：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

师：把贴纸拿掉，并板书文字语言。（书写时故意把“这”去掉，再举一个反例，来提示同学们“这”

字不能丢掉,播放PPT，提示大家“这”

字不能丢掉）

师：解读一下这个概念：和，差，积，最后还有一个平方差，“这”字不能丢掉，概念不要混淆了。

师：刚才我们通过结构特征来认识该等式的，接下来我们来研究一下它项的特征。先看等号左边，这里有两个因式，第一个因式里面有两项，第二个因式里面也有两项，请问项与项之间存在什么关系呢？

生：a与a相等，

师：那我们给它一个名字：相同项。

生：b与-b互为相反数。

师：我们给它一个名字：相反项。这两个因式，一项相同，一项相反，那么结果呢，a代表着什么项？

生：相同项？

师：b代表着什么呢？

生：相反项

师：所以只要符合这样的特征：一项相同，一项相反的两个二项式相乘，结果就等于相同项的平方减去相反项的平方。

设计意图：通过动手操作剪拼活动导入新课，激发学生探索本节课的兴趣，锻炼学生的动手能力，同时渗透了数形结合的思想。从平方差公式的推导过程中的符号表示、文字叙述，使学生深刻认识平方差公式的特点，为下面学生运用平方差公式进行简单的计算打好基础。

三、运用新知，解决问题

师：我们学***方差公式，是为了方便我们进行简便计算。这就要求我们首先要有一双慧眼，会识别出哪些式子符合平方差公式的特征，能够运用平方差公式来简便计算。让我们来试一试。（播放PPT）

1、下列各式中,能用平方差公式运算的是( )

A.(-a+b)(-a-b) B.(a-b)(b-a) C.(2a-3b)(3a+2b) D.(a+c)(-a-c) 2、下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( ) A.(x-2y)(2y+x) B.(-x+2y)(-x-2y) C.(-2y-x)(x+2y) D.(-2b-5)(2b-5) 师：好，大家都有一双慧眼，能识别出哪些式子能够运用平方差公式来简便计算。接下来我们再来试试看，应如何运用平方差公式对符合这样特征的多项式乘多项式进行简便计算。（播放PPT）

（1）(3x+2)(3x-2) ；

（2）(−m2+n)(−m2−n)；

（3）(-2x2-3y)(2x2-3y)。

（要求学生说出相同项和相反项，说出中间步骤，熟练以后再直接写出结果。对于（3）可以先把它变形为符合平方差公式的基础上，再进行计算。）

师：大家都学会了吗？接下来轮到大家来试一试，请两位学生黑板上板演，其他同学拿出你们的课堂练习本。

（播放PPT）练习: 11(1) (a +)(a −)； 22(2) (3a−2b)(3a+2b)； （3） (−x+2)(−x−2) ； (4) (4x2+3)(4x2−3)。

师：下去巡视，指导学生解题，最后进行点评：在解题的过程中你有没有要提醒大家注意的地方？

生：要加括号。

师：我们再回到课前老师提出的问题，学***方差公式以后，你知道A同学神速计算的秘诀吗？谁是那位小神童呢？

生：发言。

师：其他同学知道其中的秘诀吗？

生：回答。

师：看来大家都有做小神童的潜质！如果给这个数字再乘上2501，大家能快速的算出结果吗？

生：回答。

师：为什么他能够算的那么快，因为它会使用平方差公式，大家发现运用平方差公式计算的优势了吧，但在使用平方差公式之前，必须会识别平方差公式的特征，有什么特征？

生：回答。

师：大家发现没有？生活中处处有数学，数学来源于生活，又服务于生活，帮助我们解决生活中的问题。

设计意图：这类问题都是直接运用平方差公式进行的计算，让学生了解平方差公式的优势所在。再者，鼓励学生学以致用，学生激情高涨，在成功的学习体验中增强他们的信心，也巩固了基础知识。

四、反馈练习，拓展应用

师：刚刚，我们都是直接运用平方差公式计算，如果给你这两个数的平方差，你

能算出等号左边是哪两个数的和与差的乘积吗？大家来试试看。

（播放PPT）

(1)

(x+————)(x-————)=x2-36;

(2) (m+————)(m-————)=m2-25n2;

(3) (a+b)(————)=b2-a2;

(4) (————)(1-x2)=x4-1。

生：回答 师：大家都会逆用平方差公式了，真是了不得！老师还想来个有点难度的题目来考考大家，请看例2。

例2 计算：（1）（a-2)(a2 +

4) (a+2)；

（2）（2+1)(22+1)(24+1)。

师：给学生提示，师生共同完成。之后出示一组练习，让学生动手。

24816（1）(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)； （2） (1＋½)(1＋¼)(1＋1/8)(1＋1/16)。 设计意图：在本环节中设计的综合应用类题目，既培养了学生的逆向思维能力，也考察了学生连续运用公式的能力，以及灵活应变能力。

五、反思小结 师：感悟：本节课你学到了什么? 应用平方差公式时要注意一些什么？

生：回答。

师：我们能得出这个结论，要感谢这个图形，否则我们发现不了这个结论。早在宋元时期，我国古代的数学家就系统地引进了几何问题代数化、代数问题几何化的方法，即我们所说的“数形结合”的思想，这比西方国家早了近800年，非常值得我们国人骄傲的一件事情。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非。”所以，我们要学会把“数”与“形”相结合，帮助我们解决问题。

设计意图：总结理清知识脉络，强化重点，内化知识，引导学生对知识要点进行总结

，梳理学习思路。对“数形结合”思想的起源介绍，培养学生的爱国主义情怀。

六、布置作业

必做：课课练 9.4乘法公式（2） 选做：时代新课程 9.4乘法公式（2）

设计意图：注重个性差异，分层次布置作业，满足不同层次学生的需求，使学生在原有的基础上都能得到提高。

教学后记

好的开始是成功的一半。本节课，我从生活实际出发，以学校大合唱比赛购买服装时的费用计算问题引入，激发学生探索新知的浓厚兴趣和欲望。接着以拼图游戏引入，学生听口令对我预先发给他们的长方形纸片动手操作。教学过程中，抽几位学生代表演示拼图成果，直观地反映出“剪”、“拼”的过程和规律，而后每位学生相应的表示出所拼图形的面积。在课堂上，学生有多种拼图方法,学

生不仅拼出了我意料之中的图形，而且还有个别学生拼出了之前试讲时从未出现的图形，让我很惊喜。至此，通过动手“剪一剪”、“拼一拼”，使他们在活动中进行规律的总结，学生自主发现“面积相等”，观察出:（a+b）(a-b)=a2-b2

这个规律。然后再根据多项式乘以多项式的法则从代数角度证明等式的成立，这样就从几何以及代数两个角度来证明该等式的正确性。本节课，学生在探索中验证自己的猜想,同时也感受和认识知识的发生和发展的过程,得出（a+b）(a-b)=a2-b2 。在公式得出后，我没有急于说出公式的文字语言表述，而是引导学生自己总结归纳，此举有利于学生对数学思想方法的感悟、提炼，也锻炼了学生的语言表达能力。

本节课在活动中让学生亲自感知、亲身体验，同时带着问题进行思考和探索来发现新知，这样的教学方式给学生创造一个自由活动的空间，极大的激发了学生的学习兴趣，又培养了学生的自主探究能力，使学生尝到了由自主学习而获得新知的喜悦。

当然放手给学生动手操作、探讨发现时，需要教师有很强的驾驭课堂的能力，本节课虽说有成功之处，但还有一些不足的地方：

（1）剪拼法动手操作来探索平方差公式时，时间把握的不够好，后面显得有点紧张，我会在今后的教学中加强自己对时间的把控；

（2）注意课堂教学语言的严谨和规范，多使用标准的数学语言；

（3）提问要明确，问题提出后，要停顿下来给学生思考的时间，对于学生的回答都要给予评价，并请坐下。本节课中出现个别问题，提问比较模糊，使得学生很难掌握回答的方向。

这次的课堂教学实践给了我很大的启发，我将在以后的教学中不断改进，更好的提高课堂教学效率。