2.7 弧长及扇形的面积优秀教学实录

2.7弧长及扇形的面积

泰州市海军中学

邵晶晶

教学目标：

1．经历探索弧长计算公式、扇形面积计算公式的过程. 2．会运用弧长计算公式、扇形面积计算公式计算有关问题. 3．经历弧长和扇形面积计算公式的探索过程和应用过程，体会“整体与部分”的关系及类比、方程、转化等思想. 教学重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用. 教学难点：弧长与扇形的计算公式的应用. 教学过程：

一、创设情境

1.复习：弧的概念

2.导入扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形是扇形。

练习1：口答：下列图形中，哪些是扇形？（PPT）

二、引导探索

探索一：探索弧长公式

1．问题：若圆心角分别为90°、45°、60°、1°、n°，如何计算它所对的弧长呢？

2. 归纳：如果圆的半径为R，圆心角度数为n，弧长为l，那么弧长的计算公式为： 【设计意图：

从由特殊的圆心角计算弧长入手，引导学生理解n°的圆心角所对n的弧长实际上是圆周长的，体会“整体与部分”的关系.】

3603. 练习2：

（1）已知扇形的半径为18，圆心角为100°，它的弧长为_________

. （2）已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径1

为_________．

（3）

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 的长．

【设计意图：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，理解l、n、R这3个量之间的一种相等关系.如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量.】

探索二：探索扇形面积公式

尝试探索扇形的面积公式

(1)如上题图，圆的半径为R，圆心角为90°，怎样计算该扇形的面积呢？

(2)怎样计算圆心角是n0的扇形面积？请同学们小组交流. 归纳：如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式为： . 【设计意图：类比弧长的计算公式，从“整体与部分”的关系来引导学生自主探索扇形面积公式.】

4. 扇形的面积公式与弧长公式有什么区别？有什么联系？ 扇形的弧长与扇形面积的关系为： . 【设计意图：引导学生将扇形面积公式与三角形面积公式进行类比.】

5. 练习2：

（1）扇形的圆心角为60°，半径为5,则这个扇形的弧长为_______, 这个扇形的面积为______。

（2）一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为____________。

（3）一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为______。

(4)已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π,扇形的面积为______ 。 ．

【设计意图：类似于弧长的计算公式，引导学生用“方程的观点”去认识扇形面积计算公式，公式也是表示三个量之间的相等关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量，同时又要注意灵活选择扇形的面积公式.】

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三、例题解析

例1. 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．

例2、如图，⊙A、

⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是1cm，求图中阴影部分的面积。

变式：

【设计意图：进一步巩固扇形的面积公式，能将不规则图形的面积转化成规则图形的面积的和差，体会转化的数学思想.】

四、巩固练习

1. 若正三角形的边长为6，则它的内切圆的周长为 ，外接圆的周长为 . 3

2. △ABC的外接圆半径为2，∠BAC＝60°，则∠BAC所对的弧BC长为 . 3．如图1，⊙O的半径为5，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，AC=OC， B C的度数为____，图中阴影部分的面积为_________. 4. 如图2，若正六边形的边长为3，分别以A、B、C、D、E、F为圆心，1为半径的圆，则形成的阴影部分的面积之和是 .

OCBOCAACBDAOB 图1 图2 图3 图4 5. 如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点. 设弦AB 的长为d，则圆环面积S与d之间的数量关系是 . 6. 如图4，半圆的直径AB=40， C、D是这个半圆的三等分点. 求弦AC、AD和弧CD围成的图形（阴影部分）的面积S. 五、课堂小结

六、拓展提高： 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置上，设BC＝1，AC＝3，则顶点A运动到A2的位置时，点A经过的路线有多长？点A经过的路线与直线l所围成的图形的面积有多大？

A1CB2BC2A2【教学反思】 本节课从学生熟悉的问题情4 A

景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活．在探求弧长公式时，让学生体会从特殊到一般的认知过程，明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。明确弧长实际上是与它半径相等的圆周长的一部分，这是部分与整体的一种关系。对于扇形面积公式，让学生类比弧长公式的探讨过程，通过小组讨论，合作探究方法让学生巩固了公式的形成过程，锻炼学生探索新知能力，教会学生一种类比的数学思想方法。这样既加深学生对扇形面积公式的理解和记忆。符合新课程所倡导的“以学生为主体，教师为主导”的教学理念，又加强学生合作交流能力，培养了学生应用数学、探究意识和创新能力。学生比较两个公式，找它们的区别和联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．例题的目的是巩固扇形面积公式，让学生明确求不规则图形的面积要转化成规则图形的面积来求，既阴影部分的面积可转化为扇形面积与三角形面积的和或差。培养学生解决问题的能力。考虑到一节课中，不可能做到面面俱到，所以，课堂上主要体现三种数学思想——特殊到一般、类比、转化的思想的应用，并在这三种思想运用的过程中，提高学生的运算能力和思维表达能力。

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