直角三角形的性质与判定教案设计范例

2 直角三角形

第1课时

【教学目标】

知识技能目标

1.掌握直角三角形的性质定理及判定定理的证明方法,并能应用定理解决与直角三角形有关的问题. 2.结合具体例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立. 过程性目标

进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程,建立初步的符号感,发展抽象思维. 情感态度目标

鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲. 【重点难点】

重点:1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法. 2.结合具体例子了解逆命题的概念,识别两个互逆命题,知道原命题成立,其逆命题不一定成立. 难点:勾股定理逆定理的证明方法. 【教学过程】

一、创设情境

通过问题1,让学生在解决问题的同时,回顾直角三角形的一般性质. [问题1]一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10 cm,CB1⊥AB,B1C1⊥AC1,垂足分别是B1,C1,那么BC的长是多少? B1C1呢?

解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10 cm, ∴BC=AB=×10=5(cm).

∵CB1⊥AB,∴∠B+∠BCB1=90°.

又∵∠A+∠B=90°,

∴∠BCB1 =∠A=30°.

在Rt△BCB1中,

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BB1=BC=×5=(cm)=2.5(cm). ∴AB1=AB-BB1=10—2.5=7.5(cm). ∵在Rt△C1AB1中,∠A=30°,

∴B1C1 =AB1=× 7.5=3.75(cm). 解决这个问题,主要利用了上节课已经证明的“含30°角的直角三角形的性质”.由此提问:“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明. 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推导出的定理,能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P16,阅读“读一读”,了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理,证明勾股定理的方法. 二、探究归纳

探索一: 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.

求证:a+b=c. 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c,连接ED,AE(如图),则△ABC≌△BED. ∴∠BDE=90°,ED=a(全等三角形的对应角相等,对应边相等). ∴四边形ACDE是直角梯形. 2222∴S梯形ACDE=(a+b)(a+b) =(a+b). ∴∠ABE=180°-(∠ABC+∠EBD)=180°-90°=90°,AB=BE.

2∴S△ABE=c.

∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, 22 ∴(a+b)= c+ ab + ab,

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即a+ ab + b=c+ ab, ∴a+b=c

探索二: 如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们能得出“这个三角形是直角三角形”的结论吗? 已知:如图:在△ABC中,AB+AC=BC

2222222 22

求证:△ABC是直角三角形. 分析:要从边的关系,推出∠A=90°是不容易的,如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等,而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等,即可得证. 证明:作Rt△A′B′C′,使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC(如图),

则A′B′+A′C′=B′C′(勾股定理). ∵AB+AC=BC,A′B′=AB,A′C′=AC,

∴BC=B′C′, ∴BC=B′C′,

∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).

∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的对应角相等). 因此,△ABC是直角三角形. 总结得勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 探索三: 观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 上面两个定理的条件和结论互换了位置,即勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件.这样的两个定理我们称之为互逆定理. 是不是所有的定理都有互逆定理呢?请举例. 如果两个角是对顶角,那么它们相等.

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如果两个角相等,那么它们是对顶角. 它们就称为互逆命题,如果称每组的第一个命题为原命题,另一个则为逆命题. 三、交流反思

这节课我们了解了勾股定理及其逆定理的证明方法,并结合数学和生活中的例子了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道,原命题成立,其逆命题不一定成立,掌握了证明方法,进一步发展了演绎推理能力. 四、检测反馈

说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假: (1)四边形是多边形. (2)两直线平行,同旁内角互补. (3)如果ab=0,那么a=0, b=0 五、布置作业

P17 习题1.5

第1题

六、板书设计

勾股定理

勾股定理的逆定理

七、教学反思

学生对于命题和逆命题中题设和结论的分析和把握不是太准,部分学生尤其是在语言表述方面仍然有些欠缺,作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生要给予及时的帮助和指导.

互逆命题

互逆定理

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