10.1 二元一次方程优秀教学设计说课稿

10.1 二元一次方程

一、教材分析：

本课时与下一课时“10.2 二元一次方程组”都是从含有两个未知量的典型问题情境出发，引出二元一次方程（组），展现二元一次方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，引导学生感受“实际问题——数学问题”的建模过程．第三节和第四节则是在此基础上解方程组以及用方程组解决问题．

二、学情分析：

学生已具备有关一元一次方程的知识和经验，应该有能力通过自主探索和合作交流列出二元一次方程，总结二元一次方程的定义．但是，对学生来说不定方程的求解以及为消元法服务的“用一个未知数表示另一个未知数”是较陌生的，相对也较困难．

三、教学总体设计框架：

1. 从实际问题情境运用数学建模建立二元一次方程，抽象出数学问题，并通过类比得出“二元一次方程”的定义；

2. 从一般情况下二元一次方程的无数组解过渡到对实际情境中二元一次方程的解的讨论．

四、教学目标：

1. 经历分析实际问题中的数量关系的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

2. 了解二元一次方程的概念，并会判断一组数是否为某个二元一次方程的解．

五、教学重难点：

重点：二元一次方程的有关概念及应用；

难点：二元一次方程的解不定性及整数解．

六、教学方法与教具：

教学方法：讲授法、讨论法、练习法

教具：多媒体（PPT）、黑板

七、教学过程：

Ⅰ情境创设：

开场白：上课前我们先聊聊篮球，要看懂篮球赛，首先得看懂比分，投篮三分线以外得三分，三分线以内得两分，罚球得一分．而且正式篮球比赛只有输赢，没有平局，在4节比赛后若双方打平，则加时5分钟，直至决出胜负．在这些基本常识基础上我们探讨以下实际情境．

[情境1]篮球比赛规则规定：赢一场得2分，输一场得1分．在中学生篮球联赛中，某球队赛了若干场，积20分．怎样描述该球队输赢场数与积分之间的相等关系？

（学生读题）

师：问题是什么？

生：“怎样描述该球队输赢场数与积分之间的相等关系？”

师：要描述几个量之间的相等关系，他们都知道吗？不知道的量怎么办？

生：设未知数．

师：需要设几个未知数？

生：两个．

解：设该球队赢了x场，输了y场．

师：该情境中的等量关系是什么？题中哪句话进行了暗示？

生：“积20分”．

师：“积20分”说明？这20分是怎么组成的？

生：赢的场数 2 

输的场数 1  20．

师：你能根据这个相等关系列出方程吗？

则有2x



y

 20．（学生说）

师：这样我们就通过设未知数列方程，把一个实际问题转变为了数学问题．

[情境2]某球员在一场篮球比赛中共得35分，其中罚球得10分．怎样描述该球员投中的两分球和三分球个数与得分之间的相等关系？

（学生读题）

师：问题是什么？

生：“怎样描述该球员投中的两分球和三分球个数与得分之间的相等关系？”

师：这些量都已知吗？不是的话怎么办？

生：设两个未知数．

解：设该球员投中x个两分球，y个三分球．

师：相等关系在哪？题中那句话说明了？

生：“共得35分”．

师：说明……

生：两分球的个数 2 

三分球的个数 3 

罚球得分

 35．

师：请根据这个相等关系列出方程．

则有2x

 3y

 10  35．（学生说）

师：同样的，我们通过设未知数列方程把实际问题转化成了数学问题．这样从实际问题中抽象出数学问题的过程，体现了数学建模的思想．

Ⅱ新知探索：

[观察]方程2x



y

 20和2x

 3y

 10  35有哪些共同的特点？

师：与我们之前所学的一元一次方程（如x  1  5和3x

 2  4）有何异同呢？

生：2x



y

 20、2x

 3y

 10  35中都有两个未知数，x  1  5、3x

 2  4中只有一个未知数．

师：这是未知数的个数的区别，还有别的发现吗？

生：未知数的次数都是一次．

师：我们发现今天所列的方程与我们之前所学的一元一次方程既有联系又有区别，是一类新的方程．我们回忆一下一元一次方程，“一元”表示？“一次”表示？

生：“一元”——只有一个未知数，“一次”——未知数的次数为1．

师：名称中就蕴含了方程的主要特征．对照一元一次方程的命名方法，你能给这类新的方程取个名字吗？

生：二元一次方程．

师：那你能尝试给出“二元一次方程”的定义吗？

生：只有两个未知数，且未知数的次数都为1的方程．（先板书）

师：这是我们对照“一元一次方程”给出的定义，那么“xy

 2”是我们所说的“二元一次方程”吗？

师：事实上，“xy

 2”的次数是2，并不是二元一次方程，说明我们刚才的定义需要修

正．只有“未知数的次数都为1”还不能保证是我们所说的“二元一次方程”，进一步需要“所有含有未知数的项的次数都是1”才行．

[定义]：二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程．

二元一次方程的两大特点：二元——含有两个未知数，一次——含有未知数的次数都是1．

参照二元一次方程的定义，我们可以来判定方程是否是二元一次方程．

[练习]：1. 下列方程中，哪些是二元一次方程？不是的说明理由．

(1) x

 2y

 1

（√）

3(2) x



1

 7

（×）y在分母上，不是整式，次数是-1（1



y1）

yy(3) 3pq 

8

（×）次数是2 (4) 2y2  6y  1

（×）次数是2，且只有一元

2. 已知：xm1  2y2n1 = 4是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．

解：由题意得：m

 1  1，2n

 1  1

∴

m

 0，n

 1 [思路]：回归定义

x = a[定义]：二元一次方程的一个解：适合二元一次方程的一组未知数的值．记作

y = b说明：二元一次方程的解是由两个未知数的值组成的，用大括号连接，表示同时成立．

师：什么叫“适合二元一次方程”呢？

生：代入方程能使等式成立．

[例1]：下面3对数值，哪几对是二元一次方程2x + y = 3的解？

x = 2，x = 2，x = 2，

①

②

③



y = 2；y = 1；y = 2．x = 2解：①将代入2x + y = 3，

y = 2左边

= 2  (2)  2 

2，

右边

 3，

∵左边

≠

右边

x = 2∴不是2x + y = 3的解．

y = 2（板演规范书写，其他两组由学生口答）

x = 2生：②将代入2x + y = 3，

y = 1左边

= 2  2  (1)  3，

右边

 3，

∵左边



右边

x = 2∴是2x + y = 3的解；

y = 111x = 2③将代入2x + y = 3，

y = 2左边

= 2 

1

 2  3，

右边

 3，

2∵左边



右边

1x = 2∴是2x + y = 3的解．

y = 2

师：我们发现二元一次方程的解不止一个，那么……

[思考]：一个二元一次方程有多少个解？

师：以2x + y = 20为例，你能说出这个二元一次方程的解吗？

生：……（不唯一）

师：你能找全此方程的解吗？它的解有……

生：无数个．

[总结]：不考虑实际意义，任何一个二元一次方程都有无数个解．（二元一次方程是不定方程）

师：若考虑实际意义呢？回到之前的两个问题情境．

[情境1]：根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分．在中学生篮球联赛中，某球队赛了若干场，积20分，问该球队赢了多少场？输了多少场？

师：要求输赢场数，就是在此问题情境下求出方程2x + y = 20的解，此时还是无数个吗？

生：不是．

师：为什么？（发生了什么变化？增加了什么条件？）

生：……

师：因为有了实际背景，所以x、y只能是0、1、2……这样的非负整数．

你能列出输赢场数的所有可能情况吗？

2x + y = 20 师：我们用表格形式来列举可能情况：

x最小可取

0 ，最大可取

10 ；

当x  5时，y



10 ？

x y 0 20 1 18 2 16 3 14 4 12 5 10 6 8 7 6 8 4 9 2 10 0

（与学生一起完成表格填写）

师：在此问题情境下，方程2x + y = 20有11组解．（在实际问题中，可以讨论不定方程的有限个解）

[情境2]：某球员在一场篮球比赛中共得35分，其中罚球得10分．问：他分别投中了多少个两分球和三分球? 分析：在此问题情境下，求出方程2x

 3y

 25的解，先讨论x、y的取值范围，都是非负整数．

请你设计一张表格，列出这名球员投中的两分球和三分球个数的各种可能情况． 2x

 3y

 25

（学生自己尝试列表）

师：我们先考虑x的取值还是y的取值呢？先考虑y的取值较好，因为每增加1，3y增加3，而2x

只增加2，3y增长得较快．

小窍门：在讨论二元一次方程的整数解的时候，先讨论系数大的字母的取值，较简洁．

x y 12.5 0 11 1 9.5 2 8 3 6.5 4 5 5 3.5 6 2 7 0.5 8 （舍）

（舍）

（舍）

（舍）

（舍）

师：我们一共讨论了9种情况，发现其中5种不符合实际意义，舍去，最后只剩下4种情况．

x y 11 1 8 3 5 5 2 7 师：在此问题情境下，方程2x + 3y = 25有4个解，表格每一竖列是方程的一个解．

根据所列的表格，回答下列问题：（学生读题并回答）

⑴这名球员最多投中了多少个三分球？ 7个

⑵这名球员除罚球外最多投中了多少个球？

12个

⑶若这名球员除罚球外投中了10个球，那么他投中的两分球、三分球各几个？

各5个

[总结]：在实际问题中，可以讨论二元一次方程的有限个解．

师：在刚才寻找方程的解的过程中，我们发现方程中的两个未知数的值一旦确定了其中一个，另一个也随之确定．说明二元一次方程中这两个未知数之间存在某种联系．

[例2]把二元一次方程3x + 2y = 15, ①写成用含x的代数式表示y的形式；

解：3x + 2y = 15 2y = 15  3x

y = 15  3x

2

分析：“表示y”，就把y看出未知数，把x看成参数（常数），未知数放等式左边，参数、常数移到等号右边，移项、系数化为1，实际就是解一元一次方程的过程．

②写成用含y的代数式表示x的形式；

解：3x + 2y = 15 3x = 15  2y x = 15  2y

3③求出方程的正整数解.（选做）

x = 1x = 3解：

y = 6；y = 3．师：我们用一个未知数表示另一个未知数，将两个未知数变为一个未知数，实际上达到了消元的目的，为之后的解二元一次方程组做准备．

Ⅲ小结：（2-3min）

问：这节课你有什么收获？（学生先说，再总结）

数学建模

1.实际问题 数学问题；

2.通过类比、归纳等方法得到了二元一次方程的定义；

3.理解了二元一次方程解的特点，学会在实际问题中讨论非负整数解（或正整数解）．

八、板书设计：

10.1 二元一次方程

x = 22x + y = 20

一元一次方程

例1 解：①将代入2x + y = 3，

y = 22x

 3y

 10  35

x

 1  5

左边

= 2  (2)  2 

2，右边

 3，

xy

 2（×）

3x

 2  4

∵左边

≠

右边

x = 2二元一次方程：只有两个未知数， ∴不是2x + y = 3的解．

y = 2且含有未知数的项的次数都为1 例2

解：①3x + 2y = 15 的方程． 2y = 15  3x

x = a二元一次方程的解：

y = 15  3x

y = b2二元一次方程有无数个解． ②3x + 2y = 15

实际问题中，可以讨论二元一次方程 3x = 15  2y 的有限个解． x = 15  2y

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