小结教学设计(第二课时)

圆锥曲线常用结论（自己选择）

一、椭 圆

1.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 2.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. x0xy0yx2y221. 15.

若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y26.

若P0(x0,y0)在椭圆221外

，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点abxxyy弦P1P2的直线方程是02021. abx2y27.

椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F

2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.

2x2y28.

椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)). 9.

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. x2y211.

AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abb2kOMkAB2，

a2bx即KAB20。

ay0x2y21内，则被Po所平分的中点弦的方程是12.

若P0(x0,y0)在椭圆a2b2x0xy0yx02y02222. 2ababx2y221内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13.

若P0(x0,y0)在椭圆2ab第1页，共8页

x2y2x0xy0y22. a2b2ab二、双曲线

1.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y25.

若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程abxxyy是02021. abx2y26.

若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外

，则过Po作双曲线的两条切abxxyy线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021. abx2y27.

双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F

2，点P为双曲线上任意ab2Sbcot一点F，则双曲线的焦点角形的面积为. PFF1PF2122x2y28.

双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) , F2(c,0)

ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9.

设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.

过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. x2y211.

AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABabb2x0b2x0的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212.

若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的abx0xy0yx02y02方程是2222. abab第2页，共8页

x2y213.

若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方abx2y2x0xy0y程是2222. abab椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y21.

椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直abx2y2线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221. abx2y22.

过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直abb2x0线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）. ay0x2y23.

若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, abPF1F2, PF2F1，则actancot. ac22x2y24.

设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上ab任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有since. sinsinax2y25.

若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0ab＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y26.

P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，ab则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. (xx0)2(yy0)21与直线AxByC0有公共点的充要条件是7.

椭圆a2b2A2a2B2b2(Ax0By0C)2. 第3页，共8页

x2y28.

已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.ab4a2b2111122;（1）（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）SOPQab2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2的最小值是2. ab2x2y29.

过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦ab|PF|eMN的垂直平分线交x轴于P，则. |MN|2x2y210.

已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分aba2b2a2b2x0线与x轴相交于点P(x0,0), 则. aax2y211.

设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点ab2b22记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2btan. 21cosx2y212.

设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，abPAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有2a2b22ab2|cos|2cot. (1)|PA|2.(2) tantan1e.(3) SPAB2222baaccosx2y213.

已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点Fab的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.

椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数第4页，共8页

e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.

椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.

椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线

x2y21.

双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴abx2y2平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是221. abx2y22.

过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互abb2x0补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC2（常数）. ay0x2y23.

若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, abF

2是焦点, PF1F2, PF2F1，则catancot（或ca22catancot）. ca22x2y24.

设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）ab为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有since. (sinsin)ax2y25.

若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，ab则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. x2y26.

P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线ab内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和第5页，共8页

A,F2在y轴同侧时，等号成立. x2y27.

双曲线221（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条ab22222件是AaBbC. x2y28.

已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，ab且OPOQ. 4a2b2111122（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为2;（3）SOPQ;ba2|OP|2|OQ|2a2b2a2b2的最小值是2. ba2x2y29.

过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于ab|PF|eM,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则. |MN|2x2y210.

已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的aba2b2a2b2垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则x0或x0. aax2y211.

设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2ab2b2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2) 1cosSPF1F2b2cot. 2x2y212.

设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的ab一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距2ab2|cos|离心率，则有(1)|PA|2. |ac2cos2|2a2b22cot. (2) tantan1e.(3) SPAB2ba2x2y213.

已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲ab线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点. 14.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 第6页，共8页

15.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.

双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.

双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.

双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式：

1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB1k2x1x211y1y2

k2(A,B不同时为0)的形式。

2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距与直线，常设其方程为垂直的直线可表示为(它不适用于斜率为0的直线) 。

4、两平行线5、若直线则

6、圆的一般方程：（斜率）且与直线（在间的距离为平行

。

轴上截距） （充要条件）

，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为第7页，共8页

的圆。二元二次方程条件是且且。

表示圆的充要

7、圆的参数方程：的参数方程的主要应用是三角换元：

8、切线长：过圆的切线的长为（为参数），其中圆心为，半径为。圆；为直径端点的圆方程（（）外一点）

所引圆9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：共弦)系为在直线方程.。

，当；②过两圆时，方程、交点的圆(公为两圆公共弦所第8页，共8页