1.2.1 充要条件主要内容及教案内容

§1.5充要条件

教学目的：①知识目标：理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的意义；能够判断给定的两个命题的充要关系。

②能力目标：能够利用本节知识解决和代数、几何、三角等高中数学有关的问题；

③情感目标：进一步培养逻辑思维能力，理解数学的严谨性。

教学重点、难点及其突破：高考对本节内容的考查，主要是以代数、几何、三角等高中数学的各个方面内容为载体，判断两个命题间的充要关系，这也就是节课的重点，也是难点。学习中要注意各知识点的联系。

教学方法：讲授法。

高考要求及学法指导：基本的逻辑知识是人们认识和研究问题不可缺少的工具．高考中主要考查命题与命题之间的逻辑关系以及判断是非的能力和推理能力，这里尤其要重视反证法的应用。

教学过程：

一、知识点复习：

（一）判断命题充要条件有如下三种常用方法：

1、定义法；

2、等价法：即利用与非B非A；BA与非A非B；AB与非B非A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法：

3、利用集合间的包含关系判断命题之间的充要关系，设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B：(1)若AB，则p是q成立的充分条件．(2)若A=B，则p是q成立的充要条件．(3)若AB，则p是q成立的充分不必要条件．(4)若A B，且B

A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．

（二）四种命题

1、一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用

和

分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：

原命题：若p则q(pq)；

逆命题：若q则p(q)；

否命题：若

则

() 逆否命题：若

则

() 2、四种命题的关系

3、一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：

(Ⅰ)原命题为真，它的逆命题不一定为真；

(Ⅱ)原命题为真，它的否命题不一定为真；

(Ⅲ)原命题为真，它的逆否命题一定为真；

(Ⅳ)逆命题为真，否命题一定为真；

（三）充要条件

1、如果p成立则q成立，即

，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果p成立则q成立，且q成立则p成立，即

，则称p是q的充分必要条件．

2、充要关系的判断我们常用推出符号“”来判断两个命题之间的充要关系。

(1)

且

，则p是q的充分非必要条件；

(2)

且，则p是q的必要非充分条件；

(3)且，则p是q的既非充分也非必要条件；

(4)且(即)，则p是q的充要条件．

5、对充分必要条件理解

“充分条件”和“必要条件”是数学中重要的概念之一，它讨论“若p则q”的命题中的条件和结论的逻辑关系．因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决有关问题．

(1)当

时，称条件p是条件q的充分条件，意指为使q成立，具备条件p就足够了，“充分”即“足够”的意思．当

时，也称条件q是条件p的必要条件，因为

等价于非

非q即若不具备q，则p必不成立，所以，要使p成立，必须具备q．“必要”即“必须具备”的意思．

“若p则q形式的命题，其条件p与结论q之间的逻辑关系有四种可能：

①

且不一定成立：这时，p是q的充分而不必要条件；

②

且不一定成立：这时，称p是q的必要而不充分条件；

③

且：这时，称p是q的充分且必要条件；

④ pq不一定成立且

不一定成立：这时，称p是q的既不充分也不必要条件．

(2)由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，它们之间存在着密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化应用该命题的逆否命题进行判断．

(3)一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个．

二、例题分析：

例1、判断下列命题中前者是后者的什么条件？后者是前者的什么条件？

22 （1）若x=y，则x=y。

（2）有两角相等的三角形是等腰三角形。

2 （3）ax+ax+1>0的解集为R，则0

22 （4）若a>b，则a>b。

例2，判断下列问题中，p是q成立的什么条件？ p q 2 （1） x>1 x<-1 2 （2） |x-2|<3 -x+4x+5>0 （3） xy≠0 x≠0或y≠0

例3 已知p：1x12，q：3和

≤0(m>0)，若是

的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。

分析 根据已知条件先写出解 由1由因为，然后由，但，求得m的取值范围。

x1≤2，得－2≤x≤10，所以“3”：A={x|x>10或x<－2}．

是≤0，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．所以“”：B={x|x>1+m或x<1－m，m>0}，

的充分而不必要条件，∴A B．结合数轴有

解得0

点评 本题是的充分而不必要条件，求实数m，还可用它的等价命题，q是p的充分而不必要条件求实数m的取值范围，请同学们试一试．

三、本节所涉及的数学思想·规律·方法

1、充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识．所谓“pq”是指“若p则q”命题为真，若命题为假，则“pq”，注意“”具有传递性．

2、充分、必要条件问题涉及的知识面广，要求考生不仅要深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念；

3、从集合的角度考查充分、必要条件，不仅为判定此类问题提供了一种新的解题途径，而且开阔了视野，深化了对集合及充要条件这两个重要概念的理解；

4、确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明；

5、等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系。

四、作业：

课本P36练习1、2。