3.1.1 空间向量及其加减运算第二课时教学实录

期望数学岛第10讲

空间向量的加减与数乘运算

【知识要点梳理】

一、空间向量的相关概念

1.空间向量及向量的模

在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。

2.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记为0，零向量的方向是任意的。

3．单位向量：模为1的向量. 4.相等向量和相反向量：

（1）方向相同且模相等的向量称为相等向量；零向量都相等

（2）与a长度相等，而方向相反的向量，称为a的相反向量，记作a

二、空间向量的加减法

1.将空间任意两个向量的起点平移到空间某一点O，则平移后的两个平面向量的和或差，即为空间两个向量的和或差，可根据平行四边形法则或三角形法则求得。

2.空间向量的加法运算律：

（1）abba

（2）（ab）+c=a(bc)

三、空间向量的数乘运算

1.运算法则：空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a，满足：

（1）|a||||a|

（2）当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反，当0时，a0

2.空间向量的数乘运算满足的运算律：

（1）a=a（R）

（2）（ab）ab，()aaa（,R）

（3）()a(a)

（,R）

3.共线向量定理

对于空间任意两个向量a,b(b0)，a//b的充要条件是存在实数，使得ab. 4.共面向量定理

（1）平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

（2）如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使pxayb

期望数学岛1

期望数学岛（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，使APxAByAC；或对空间任意一点O，有OPOAxAByAC；或OPxOAyOBzOC（其中xyz1）。

【经典题型】

题型一

空间向量的概念

例1.给出下列命题：①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则他们的终点构成一个圆；

②若空间向量a,b满足|a||b|，则ab；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1；

④若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp；

⑤空间中任意两个单位向量必相等。

其中假命题有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

变式训练一

1.下列命题正确的是（

）

A.若向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B.向量AB、CD、MN共面就是直线AB，CD，MN共面

C.零向量没有确定的方向

D.若a//b

，则存在唯一的实数，使得ab

题型二

空间向量的加法、减法与数乘运算

例2．在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各式。

（1）ABBCCD；

A（2）AB12(BDBC)；

（3）AG12(ABAC)

D

B

MG

C

变式训练二

1.已知空间四边形ABCD，连接BD，设M，N分别是BC，CD的中点，则MNABAD等于（

A.32DB

B.3MN

C.3NM

D. 2MN

期望数学岛

2

）

期望数学岛1A1C，AEAA1(ABAD)，则（

）

41111A.1，

B. ，1

C. 1，

D. 1，

43222．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1E

题型三

向量的共线定理与共面定理

例3.如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，用向量法判断CE与MN是否共线。

例4.已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：

（1）OA2OB6OP3OC；

（2）OPOC4OAOB

试判断点P是否与点A，B，C共面

变式训练三

1.如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN：NC=2：1，E为BM的中点. 求证：A1，E，N三点共线。

CBNAFEDMD1A1DAB1ENBC1MC期望数学岛3

期望数学岛2.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，如图，点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，求证：E，F，G，H四点共面。

HGECFP

【经典练习】

1.下列条件使M与A、B、C一定共面的是（

）

A．OM2OAOBOC

B.OMOAOBOC0

C．OMADB121OAOBOC

D.MAMBMC0

5322.如果a，b，c共面，b，c，d也共面，则下列说法正确的是（

）

A.若b与c不共线，则a，b，c，d共面

B. 若b与c共线，则a，b，c，d共面

C.当且仅当c0时，a，b，c，d共面

D. 若b与c不共线，则a，b，c，d不共面

3.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量D1A，D1B，D1C是（

）

A.共线向量

B.等长向量

C.共面向量

D.不共面向量

4.如图，空间四边形OABC中，OAa，OBb，OCc，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中D点，则MN（

）

121211A.abc

B. abc

232322112221C. abc

D. abc

2233325.如果向量AB，AC，BC满足|AB||AC||BC|，则（

）

A. ABACBC

B. ABACBC

C. AC与BC同向

D. AC与CB同向

期望数学岛MANBC4

期望数学岛6.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1a，A1D1b，A1Ac，则

下列向量中与B1M相等的向量是（

）

DMABD1A1B1C1C1111abc

B. abc

22221111C. abc

D. abc

2222A. 

7.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OPA，B，C三点共面，则

。

12OAOBOC确定的点P与

538.已知正方体ABCDA1B1C1D1，点F是侧面CD1的中心，若AFADmABnAA则m=

，

1，n=

9.已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BDxAByACzAS，则xyz

。

10.如图平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M是AC的中点，N是A1D上一点，且A1N2ND，设

ABa，ADb，AA1c，则MN

A1B1NABMCDC1D111.已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

期望数学岛5

期望数学岛12．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

【能力拓展】

1．如图，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，并且OEkOA，OFkOB，

OHkOD，ACADmAB，EGEHmEF

求证：（1）A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；

（2）AC//EG

（3）OGkOC

2.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE（1）证明：A、E、C1、F四点共面；

（2）若EFxAByADzAA1，求xyz

期望数学岛ODAHEFBCG12BB1，DFDD1

33D1A1FDABB1ECC16

期望数学岛【巩固练习】

1.设P是△ABC的重心，若CAb，ABc，则AP（

）

A.bccbbccb

B.

C.

D.

23232.已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若ae1e2（,R，且220），则下列三个结论有可能正确的是

。

①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1、e2共面

3.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且且PH1，点G在AH上，HC2PAGm，若G，B，P，D四点共面，则m的值为

AH（提示:向量BG用向量PA、PB、PD表示）

HGABCD4.如图，四边形ABCD为正方形，P是ABCD平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值。

（1）OQPQxPCyPA

（2）PAxPOyPQPD

PABOCQD期望数学岛7