1.2.1 充分条件与必要条件第二课时教学实录

《充分条件与必要条件》（第1课时）教学设计

设计者：绵阳南山中学

鲁洁玉

教材内容：

人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》第二节《充分条件与必要条件》（第1课时）

教材解析：

正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语来表达自己的思维。学生学习逻辑用语，其目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑的基本知识，体会逻辑用语在表达和论证中的作用。本课时是充分、必要条件的第一课时，概念性、理论性较强，内容相对抽象，学生较难理解掌握，因此在教学中除了数学方面的实例以外，还应当结合生活中的一些具体实例，帮助学生体会概念的本质属性。

学情分析: 选修1-1是高二学生在学习了必修1--5课程的基础上，进一步学习的课程。在生活和数学中，学生也常常会需要用到一些逻辑关系来解决问题。初中阶段学生已经接触了简易逻辑，作为由实验几何向推理几何过渡的阶梯，使学生初步掌握了推理的基本原理。但是在学生对数学内容的表述中，经常会出现一些逻辑错误，而高二学生经过一年的高中数学的学习，在思维方式上已经初步从经验型抽象思维逐步向理论型抽象思维过渡，因此有必要通过系统化的学习使学生认识到数理逻辑语言的精确表达。

教学目标：

1.了解充分条件、必要条件的含义

2.能运用自然语言、符号语言或图形语言判断一些简单的充分条件和必要条件

3.初步体会充分条件、必要条件在数学知识和实际生活中的存在价值

教学重难点：

重点：了解充分条件、必要条件的含义以及判断一些简单的充分条件和必要条件的方法

难点：必要条件的理解

教学过程：

教学教学过程

设计意图

环节

提问：成语“有志者事竟成” 能否从数学的角度来分析？

通过一个成语引课入课题，把数学（1）这是一个命题吗？

题知识与语文内容（2）这个命题的条件与结论是什么？

引联系起来，激发（3）我们能否明确条件和结论之间的关系？

入

学生的学习兴趣

1

图1 图2 一、问题情境

二、思考探究

命题P：

命题Q：

若开关A闭合，则灯泡亮.

若开关A闭合，则灯泡亮.

问题1：（1）命题P（Q）是真命题还是假命题？

（2）由条件“开关A闭合”可以得到结论“灯泡亮”吗？

问题2.给出一个“若p则q”形式的命题，如何判断p是不是q的充分条件？

问题3.结合图1和图2，试分别给出一个使得“灯泡亮”的充分条件？

问题4.在图1中，如果把“灯泡亮”视为条件，“开关A闭合”视为结论，则“灯泡亮”是“开关A闭合”的什么条件？（提示：可以运用逆否命题）

问题5.给出一个“若p则q”形式的命题，如何判断q是不是p的必要条件？

问题6.结合图1和图2，试分别找到“灯泡亮”还可以是

的必要条件？

运用物理问题作为出发点，有利于学生体会条件与结论之间的逻辑关系。

运用问题链的模式，由特殊问题推想一般问题，再运用问题，通过三个步骤来体现学生数学抽象以及数学推理的能力。

同时也体现了从特殊到一般的数学思想。

三、提炼

问题7.给出一个“若p则q”形式的命题，如何判断p和q之间的充分必要关系？

2 必要条件的理解是本课时的难点，学生不能理解本来是结论的语句为何又变成了条件。运用逆否命题，恰好就能解释这一问题，同时也能得到没有q成立就没有p成立的结论。从而运用自然语言帮助我们化解了这一难点。

在这里进一步考察了学生的逻辑推理能力。

将前面两个环节的内容进行整理归纳，就能顺利得到充分必要条

结论

四、例题精练

件的一个判定方法。

例1.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分通过前两个例题条件？

使学生进一步理2解、体会充分条（1）若x=1，则x-4x+3=0；

件和必要条件，（2）若f(x)=x，则f(x)在,上为增函数；

。

而第三个例题利（3）若x为无理数，则x2为无理数.

用了集合知识作例2.下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要为基础，用集合条件？

关系理解逻辑关（1）若x=y，则x2=y2；

系，体现图形语（2）若三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

言的直观性。

（3）若a>b，则ac>bc. 在此基础上提炼

出运用集合语言例3.下列“若p则q”形式的命题中，试判断p是q的

条件？

判断充分必要条件的一种方法。

（1）若x>1，则x2>1；

2（2）若x-2x-3>0，则x>5.

提升：已知A=xx满足条件p，B=xx满足条件q. (1)如果AB，那么p是q的什么条件；

(2)如果BA，那么p是q的什么条件.

课堂检测

下列各题中，p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

五、反思练评

通过课堂检测，反馈学生对本节课所学知识的理（1）p:x=1，q:x1x1；

解和掌握的程度。

（2）p:x23，q:-1≤x≤5；

在课堂思考中提出的问题，一方（3）p:x=2，q:x33x；

面解决了本节课一开始提出的问（4）p:三角形是等腰三角形，q:三角形是等边三角形.

题，做到有头有课堂思考

尾。另一方面，1.“有志者事竟成”中，“有志”是“事成”的

条件？

试图在其他科目2.试分别从数学中、物理或其他科目中以及生活中举例说明以及生活中找到充分条件或必要条件. 充分、必要条件课堂整合

。这不仅可以帮1.充分条件、必要条件的含义

助我们进一步理2.判断p是q的充分条件、必要条件的方法

解实质，更能够课后反馈

体现逻辑用语在A组

数学乃至其他地1.

人教版选修1-1第10页“练习1-3”；第12页“习题A组第2题方的工具性作用3

”

。

2.“x2=2x”是“x=0”的

条件,“x=0”是“x2=2x”的

条件(用“充分”、“必要”填空).

3..已知命题p:α=β;命题q:tanα=tanβ,则p是q的

条件

B组

1.若已知A是B的充分条件，C是D的必要条件，B是D

的充要条件，则A是C的

条件，D是A的

条件.

2.(1)若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围

是

.

(2)若“x>1”是“x>a”的必要条件,则a的取值范围

是

.

3.已知p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋

2(3a＋1)≤0}，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

教学反思：

在高中阶段，我们的目的是帮助学生正确使用逻辑用语，以帮助他们更好地理解数学内容中的逻辑关系，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。学生对这些内容的学习不是为逻辑学和数理逻辑奠定基础，而是使学生能够更加准确地表达数学内容，从而能更好地进行交流。

因此本节课的教学是以具体实例为主线开展教学活动, 通过引导学生对物理中两个电路图的分析,体会命题中条件、结论之间的逻辑关系,杜绝简单追求概念形式化的定义，而忽视概念本质的做法。让学生有目的地经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完善地、深刻地理解充分条件和必要条件的意义很有帮助。

学生依据教师提供具体实例以及设置的问题链，从自身已有的知识出发，逐步推进对两种条件的认识，达到自主建构知识的目的，这正是现代教育理论中建构主义理论的基本观点。结合学生已有的认知基础所设置的问题链都控制在学生学习的最近发展区内，使其“跳一跳”就能够达到，不仅能够有效激发学生的学习内驱力，也使学生更加积极主动地去建构新知识。 充分条件和必要条件体现了命题中条件和结论之间的逻辑关系，因此教学中突出了数学六大核心素养中的逻辑推理部分。同时对于两种条件的理解本身属于一个难点，在运用实例推想出一般问题时，又突出了对学生数学抽象能力的培养。在学习概念的过程

4

中循序渐进，从用自然语言作为出发点帮助学生理解充分、必要，到用符号语言来表达判断充分、必要的方法，再到例题中运用图形语言看穿充分、必要关系。教学中运用了三种语言来理解概念，使得学生可以更深刻、全面地认识新问题。

最后，通过本节课的学习，学生不仅能在数学中认识到充分、必要关系，还能在物理、化学等其他科目、甚至生活中找到一些充分、必要关系，从而有利于培养学生严谨的思维习惯和审慎的思维态度。

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