4.5 反函数的概念评课稿

反函数

课型：高三复习课

班级：高三（14）

教师：凌燕

教材分析：

在高中数学新教材中，反函数连接在指对数函数与三角反三角函数之间，既是这两种特殊函数的一般化理论依据，又是函数概念的再应用，因此是知识学习的重要载体。而通过深刻把握反函数的概念不仅有利于突破对数函数与反三角函数这一难点，而且能加强学生理解变量关系以及数学的抽象能力，为今后高层次的数学学习打下基础。

学生分析: 授课对象是高三文科学生，在该课程之前，学生已经掌握了函数的概念，反函数复习是对函数概念的再强化与再应用。但是由于反函数是对一类函数特性规律的一般揭示，对于文科同学来说，对抽象表达的理解运用是难点。该节课要设计一些直观的情景帮助理解，并要教会他们一些处理特定问题的方法。

教学目标：

1.掌握反函数的定义并能准确求反函数。

2.揭示原函数与反函数的对应法则特性，理解运算性质，并运用于抽象函数。

3.理解原函数与反函数关系,并能在运用中准确转化. 能力目标：

1.在通过从具体到抽象，由抽象反应具体的教学过程培养学生的抽象能力。

2.在基于概念准确把握后的运用过程中,培养学生严谨的思维习惯. 3.通过掌握事物的内在联系,实现相互转化,培养学生在具体应用中的化归能力. 人文德育目标：

在整个学习过程中，感悟特殊与一般,具体与抽象，对立与统一的数学之美。

教学过程：

引入

反函数-2-1012-3-1135A-2D2-11-2D2-114141ADA：

1.

反函数的存在性与定义

反1）若函数的任意函数值y都有唯一确定自函变量x与之对应，则该函数存在反函数√数的22）函数y=x存在反函数存在性3）若y=f(x)存在反函数，则方程判断下列命题的真假：-2-1D012定义f:-3-11A35-2-1D012f-1:-3-11A35f(x)=c(c为常数）至多有一根。√4）单调的函数必存在反函数，对于函数y=f(x),定义域D，值域为A,若对于A中任意一个值y，总有D中一个确定的x值与它对应，这样得到的x关于y的函数称为y=f(x)的反函数，记做：x=f-1(y)反之存在反函数的函数必定单调。

y=f (x)与y=f-1(x)互为反函数

2．求反函数的方法应用

1.反函数的定义域D’为原函数的值域A2.反函数的对应法则f-1求反函数例1.求下列函数的反函数•12.3ylog2x（2x2）yx22x（x（，12x（x0）y2x（x<0)由y=f(x)解关于x的方程得x=f-1(y) 3.将x=f-1(y)写成y=f-1(x)X∈A对应法则f 与对应法则f－1为一组互逆的运算在有意义的前提下，作为运算性质有：f (f-1(x)）=x f-1(f(x))=x例题2.已知定义域与值域都为R的函数y=f -1(x+1）存在反函数，试求其反函数的解析表达。解：由y＝f-1(x+1)得f（y）＝f（f-1(x+1))即f（y）＝x＋1∴x＝f（y）－1∴反函数为y=f (x)-1y=f -1(x+1)的反函数为y＝f (x)－1而不是y＝f (x＋1）

例3.已知函数y=f(x)的定义域为R,它的反函数为y=f -1(x),如果y=f -1(x+a)与y=f(x+a)互为反函数,且f(a)=a(a≠0),求f(2a)的值解: y=f -1(x+a)的反函数为y=f(x)-a

又∴y=f -1(x+a)的反函数为y=f(x+a)∴f(x+a)=f(x)-a ∴f (a+a)=f (a)-a=0

3反函数与原函数的性质探讨

原函数与反函数性质•对于原函数上任意点(x0，y0),在反函数上存在唯一对应的点（y0,x0)•原函数的图像与反函数的图像关于直线y=x对称y(x0,y0)(y0,x0)若函数y＝f(x)与y＝f -1(x)互为反函数y＝f (x)y＝f-1 (x)定义域为集合D,值域为A定义域为集合A,值域为D方程f (x)=4的解为x＝5方程f -1(x)=5的解为x＝4在x∈[a,b],单调递增在x∈[f(a),f(b)],单调递增不等式f (x)>3的解集为x>1不等式f-1(x)>1的解集x>3x



例4.设f -1(x)是函数f (x)=2(2x -2-x)的反函数.求使f -1(x) >1成立的x的取值范围.思路1:原问题等价为:当x>1求f(x)的取值范围∵f (x) 为单调递增函数∴f (x)>2(21–2-1)∴f (x)>3思路2:f -1(x) >1f (f-1(x))>f (1)即: x > f (1)

小结

1.反函数存在的充要条件是该函数为一一对应的函数。小结2.求反函数的步骤方法3.原函数与反函数的性质探讨4.运用原函数与反函数的等价性质，实现解题的转化思考：

思考?你能在我们所学过得函数中找到一种具体函数模型y=f(x)(图象表达也可)体现该特性么?函数y=f(x)的反函数是它自身

函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x),交点不在直线y=x上.函数y=f(x)的定义域为R,它的反函数为y=f -1(x),且y=f -1(x+a)与y=f(x+a)互为反函数。