3.1.3 空间向量的数量积运算课件配套优秀公开课教案设计

一、导入课题，明确目标

A

如图是长为2的正方形ABCD,求向量AB与的BD夹角和ABBD

B 如图是棱长为2的正方体,能否根据上题的思路,思考：



求空间向量AB和CD的夹角和ABCD

这就是我们今天所要学习的内容

D

D C 课题：空间向量的数量积的运算

教学目标：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律

2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题. 重点：空间向量的数量积运算

难点：利用空间向量的数量积求夹角及距离

二、自主合作，质疑提问

阅读教材90页，回答下列问题

1、平面向量的夹角如何定义的？能否将平面向量的夹角的定义推广到空间向量的夹角的定义？

2.空间向量的数量积的概念是什么？其几何意义与平面向量的数量积的几何意义是否相同？

1．空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；

夹角范围：0a,b

a,bb,a

若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab；

22．向量的数量积：

已知向量a,b，则|a||b|co叫做a,b的数量积，记作ab，即sab,ab|a||b|cosab．,

3．空间向量数量积的性质：．

（1）abab0．

（2）|a|2aa即

aa证明向量垂直的依据

2求向量模的依据





.3cosa,bab求向量夹角的依据

ab

三、

问题探究，拓展提升

1.空间向量的数量积满足的运算律

判断正误，并说明理由

 (1)(a)b(ab)



(2)abba

abac

(3)a(bc)

(4)对于向量a,b,c由abac,则bc

k(5)对于向量a,b,若abk,则a

b



(6)向量a,b,c,满足(ab)ca(bc)

2.例题讲解

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. 已知:如图,PO,PA分别是平面的垂线、斜线，AO是PA在平面内的射影，l，且lOA.求证：lPA.

分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可。

证明：在直线l上取向量a,

只要证a×PA=0因为a×PO=0,a×OA=0所以a×PA=a×(PO+OA)=a×PO+a×OA=0所以a⊥PA,即l⊥PA.

思考：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么其斜线的射影与该直线垂直吗？

总结：用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题 (2)用已知向量表示所证向量; (3)结合数量积公式和运算律证数量积为0 (4)将向量问题回归到几何问题. 例2. 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA＝5，∠BAD＝90°，∠BAA＝∠DAA＝60°，求AC的长． D'C'A'B'DCAB

ACABBCCCABADAA

|2(ABADAA)2|AC

|AB|2|AD|2|AA|2

2(ABADABAAADAA)

4232522(0107.5)

85

|AC|85总结：用空间向量求两点间距离的一般步骤

(1)将此线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示此向量; (3)利用a·a＝|a|2，通过向量运算求|a|; (4)|a|即为所求距离.

四、课堂检测，巩固提高

 如图是棱长为2的正方体求空间向量AB和CD的夹角和ABCD

D

课后思考：

能否根据空间向量AB,CD的夹角求异面

直线AB,CD的夹角,这两类角有什么联系?

五

课堂小结，小组评价

1.空间向量的夹角及其数量积的定义

2.空间向量数量积的性质及作用

3.空间向量数量积在立体几何中的应用

课后作业：P92 2，3