3.2.3 空间的角的计算课件配套优秀获奖教案

向量法求空间角

一、全国卷5年命题分析：

考

点

线线角

线面角

面面角

考查频度

5年2考

5年4考

5年7考

考查角度

求线线角

求线面角

求二面角，已知二面角求体积

四、考点探究

考点一

用空间向量求异面直线所成的角

例1 如图直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(

) 12302A.

B.

C.

D.

105102小结：

1.向量法求空间角的步骤：

（1）建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向向量或平面的法向量；(3)代入公式求解. 2.易错点提示：（1）线线角的余弦值等于直线方向向量的余弦值的绝对值；

二、考纲要求：1.能利用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题；

2.了解向量方法在研究立体几何中的应用. 三、知识梳理：

1.两个向量夹角的定义：已知两个非零向量a、b,在空间任取一点O,作OAa,OBb,则角AOB叫做向量a与b的夹角,记作:a,b，a,b的范围是

. 2.异面直线l1，l2所成的角：过空间任意一点引两条直线分别平行于异面直线l1，l2，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线l1，l2所成的角，角的范围是

. 3.空间角和向量角的相互转化

空间角

两异面直线角θ

线面角θ

面面角θ

图形

范围

计算公式

（2）线面角的正弦值等于斜线的方向向量与平面的法向量余弦值的绝对值；

（3）面面角的余弦值要根据具体图形判断二面角是锐角还是钝角，从而判断余弦值的正负. 考点二

用空间向量求线面角与二面角

例2：(2017·北京卷改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M是线段PB的中点，PA=PD=6，AB=4．

（I）求二面角B-PD-A的大小；

（II）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

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◎

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变式练习：

在如图所示的几何体中，平面ADNM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB＝

五、

课后巩固：

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) ，AB＝2，AM＝1，E是AB的中点. 3(1)求证：平面DEM⊥平面ABM；

(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(

) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(

) 4说明理由.

第3页

共4页(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(

) (4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，二面角的范围是[0，π].(

)

2.(选修2－1P104练习2改编)已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(

) A.45°

B.135°

C.45°或135°

D.90°

3.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若

cos〈m，n〉＝－12，则l与α所成的角为________. 4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1如图所示，则直线B1D和CD1所成的角为________.

5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为________.

◎

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