2.2.2 椭圆的几何性质第二课时教学设计

椭圆的简单几何性质

一．教学内容解析：

椭圆是生活中常见的曲线，研究它的几何性质，对于后续学习圆锥曲线有重要的指导作用，也为研究双曲线和抛物线奠定了基础。

研究曲线的性质，可以从整体上把握曲线的形状，大小和位置。利用方程研究椭圆的简单几何性质之前，先引导学生想一想我们应该关注椭圆哪些方面性质。

方程研究曲线性质，即代数方法解决几何问题，将复杂的几何关系的研究转化为对曲线方程特点的分析，代数方法可以程序化地进行运算，代数法研究曲线的性质有较强的规律性。

二．教学目标设置：

(一) 知识与技能：

1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；

2.在图形中，能指出椭圆中a,b,c,e的几何意义及其相互关系；

3.理解几何性质的意义；

(二) 过程与方法：

1. 通过画图并观察得到椭圆的一些性质，培养学生观察分析意识；

2.方程研究椭圆性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；

3. 让学生注意“顶点”“椭圆中心”的概念，体会到特殊与一般的区别；

4. 通过设置填表和例2（2），让学生体会类比法和分类讨论的重要性。

(三) 情感态度与价值观：

合作讨论突破难点，培养学生合作探究的能力；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学图形的特点；方程研究曲线的性质，可以程序化运算，感受解析几何的特点和魅力。

三．学生学情分析：

作为普通班的学生，数学基础一般。在前面椭圆方程的新课学习中，通过定义的引入，方程的推导，对椭圆有了一定了解，并且也对后续内容充满了期待。

四．重难点：

重点：

1.

用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；

2.

椭圆的简单几何性质。

难点：1.用方程研究椭圆的范围和对称性；

2.离心率的引入

五．教学策略分析：

1.问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；

2.学生实物投影展示和板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性；

3.在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；

4.教师几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

六．教学过程：

(一)回顾引入：

1.知识回顾：椭圆的标准方程：

x2y2当焦点在x轴时，221(ab0)

aby2x2当焦点在y轴时，221(ab0)

ab【设计意图】：回顾上节课所学内容，巩固知识并为本节课所学做铺垫。

x2y21所对应的曲线？

2.活动创设：运用所学的知识，你能否画出方程94

（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图。）

预案一：利用椭圆的定义；

预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x轴y轴的交点再连结；

预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；

预案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高））

【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。

(二)知识探究：

师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

x2y2

以椭圆221(ab0)为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？

ab【设计意图】：引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度。

探究一：

问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？

（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观）

（师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的

话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何的目的。）

问题2：

你能否用方程说明该范围？

(先独立思考2分钟再进行小组合作，后进行小组展示成果。) x2y2（预案一：利用20和20的特点；

abx2y2（）（）1联系cos2sin21；

预案二：观察方程形式，ab

x2x2预案三：与函数定义域和值域联系，yb12和yb12）

aa师：研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图。【设计意图】指明用方程研究曲线性质是解析几何的目的。学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用。联系之前所学三角函数和函数定义域值域知识，更能加强学生对知识综合运用加深理解。

探究二：

问题1：该椭圆具有什么对称性？

问题2：能否用代数法说明该对称性？

（问题2对学生具有相当的难度，老师指明图形对称的本质是点的对称，在学生

回答过程中，强调“任意取一点”，并引导学生用曲线方程的定义回答问题。）

问题3：能否判断方程x2xy2y210所对应曲线的对称性?并说说用方程判断曲线对称性的好处。

师：该椭圆关于x轴和y轴轴对称，是不是所有椭圆都关于x轴和y轴轴对称？

（学生回答）

师：所有椭圆是不是都有两条对称轴？（学生回答）

师：同样的，是不是所有的椭圆都像该椭圆一样都关于原点中心对称呢？

(学生回答) 师：是不是所有的椭圆都有一个对称中心呢？（学生回答）

椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取

一点”。学以致用能让学生体会到方程判断曲线对称性的好处。

研究该椭圆对

称性时，指出一般椭圆的对称性，体现出特殊与一般的区别。

探究三：

师：研究曲线上某些特殊点，可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的

位置，常常需要求出它与x轴和y轴的交点坐标。

问题1：该椭圆与x轴和y轴的交点坐标分别是什么？

（指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长；x轴和y轴为该椭圆的对称轴，

这四个交点为椭圆的顶点。）

问题2：椭圆的顶点如何定义？

（预案：学生可能会回答“椭圆与x轴和y轴的交点称为椭圆的顶点”）

【设计意图】让学生明确特殊与一般的区别。

探究四：

问题1：用a,b,c中的哪两个量的比值可以刻画椭圆的扁平程度？

（先思考（过了3分钟）小组合作讨论，互相交流看法;小组展示成果）

bacc（预案一：；预案二：；预案三：；预案四：…）

abab师：其实，用a,b,c中任意两个量的比值都可以刻画椭圆的扁平程度。

cc来刻画椭圆的扁平程度？a和c是原始量，另外采用也是为aa了后边研究圆锥的统一性等性质的方便。

为什么采用问题2：离心率的大小如何影响椭圆的扁平程度？

（预案：学生可能假设a不变，长轴长不变，改变c，短轴长改变去说明离心率对椭圆的扁平程度的影响。老师肯定他们做法的同时，也要指出“长轴cb长可能改变”，引导学生用与的关系去刻画。）

aa（让学生用逼近的思想想象当e

0时，椭圆接近于圆；当e

1时，椭圆接近于一条线段。其中0看成圆，1看成线段，方便学生的记忆。）

标准方程

x2y2

2（1ab0）y2x22ab21(ab0)

2ab图形

范围

顶点

长轴长

短轴长

对称性

a,b,c关系

离心率

x2y2【设计意图】: 通过填表，一方面让学生巩固刚学椭圆221的性aby2x2质；另一方面让学生类比已有的知识，得出椭圆221的知识。

ab

(三)知识应用：

例1．椭圆16x225y2400的长轴长__________,短轴长________，离心率

_______，焦点坐标__________,顶点坐标_________________

例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)

经过点P(3,0),Q(0,2)

(2)长轴长为20，离心率等于

预案一：例2(1)学生可能设方程为mx2ny21(m0,n0,mn)代入求方程；

预案二：例2(1)学生可能由顶点坐标直接判断焦点位置和a,b的值。

(老师要肯定学生不同解法，并指出预案一方法的一般性以及预案二方法的简洁)

35【设计意图】：例1由方程得性质，例2由性质得方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系。

(四)课堂小结：

本节课你有什么收获？结合所学知识和知识探究过程。

1.

知识上：一框两轴七点，e来刻画圆和扁；

（师：不是所有的椭圆都以x轴和y轴为对称轴，但都会有两条对称轴；

不是所有的椭圆都以原点为对称中心，但都会有一个对称中心，即椭圆的中心）

2.方法: