小结教学设计及教案分析

《函数及其应用》单元专题

函数图像及导函数图象教学设计

福州第十八中学 高二数学 陈炎琳

教材分析

1.1导数概念在教材的地位和作用

导数的概念是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.

1.3 教材的内容剖析

导数是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的零点和最值打下了基础.

由于学生在已经掌握了函数导数的所有性质.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的性质比用高一的知识要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性.

1.4学情分析

在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.

1

这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，图像等，以此来激发学生的学习兴趣. 1.5教法设计

1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力.

2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性.

1.6教学媒体

根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下

1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉;

2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣.

1.7课型

新授课

教案设计

一、教学目标：

1、知识与技能目标：

1．掌握利用导函数的单调性与其导数的关系判断函数图形； 2．能利用导函数图像研究函数的单调性，极值

3.能利用导函数的几何意义图像研究函数的凹凸

4.利用导数初步研究三次函数的图像

2

2、过程与方法目标：

会判断具体函数在给定区间上的单调性和凹凸，正负。

3、情感、态度与价值观目标：

通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

二、教学重点：

利用导数研究函数的单调性和图像凹凸，会求三次的多项式函数的图像

三、教学难点：

利用导数研究函数的单调性和图像凹凸教学过程

教学重难点的解决方法

通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解.

四、教学过程

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用. ㈠复习

1.f（x）单调性与函数正负的关系

函数及图象

yf(x)单调性

在区间(a,b)上切线斜率k的正负

正

3 f'(x)的正负

正

o

abx

递增

yf(x)x

2.f（x）的极值和f'（x）的关系：f（x）极值点处：切线斜率k=0即f'(x)=0

ya

在区间(a,b)上递减

负

负

b

设计意图

引导学生回顾判断函数单调性的基本方法：

（1）“定义法”（2）“图象法”（3）导数法

（二）互动探究和训练内化

类型一：已知原函数图像，判断导函数图像。

1.

（福建卷11）如果函数yf(x)的图象如右图，那么导函数yf(x)的图象可能是

( )

【解析】

考点：

函数的单调性与导数的关系

4

分析：

由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负．

解答：

由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，选C 设计意图

教师对具体例子进行动态演示，学生对一般情况进行实验验证。由观察、猜想到归纳、总结

训练内化1 2.函数f(x)lnx12x的图象大致是

（ ）

2

3、若函数f(x)=x+bx+c的图象的顶点在第二象限，则函数y=f ' (x)的图象是( ) 2

【解析】

4.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f

(x)的图象可能是( )

5

【解析】

考点：

函数的单调性与导数的关系

分析：

从f(x)的图像可看出f(x)在

上是增函数，再结合x>0的图像可看出，导数值先正后负再正.所以应选D. 设计意图

学习由易到难

1、让学生熟悉利用函数求导数图像的方法，

2、考察函数单调区间和导函数正负的关系. 练习采用提问、投影演示等形式讲解。

通过练习进一步培养学生看图及识图的能力。

类型二：已知导函数图像，判断原函数图像。

5下图是导函数yf(x)的图象，在标记的点中，在哪一点处

（1）

导函数yf(x)有极大值

（2）

导函数yf(x)有极小值

（3）

函数yf(x)有极大值

（4）

函数yf(x)有极小值

6

,并且增的速度越来越快.

x，f’（x），f（x）关系如下表

【解析】考点：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．

说明：特别的，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数．

6、如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

5)内单调递增；

①函数f(x)在区间(3，1②函数f(x)在区间(，3)内单调递减；

2③函数yf(x)在区间(2，2)内单调递增；

1④当x时，函数yf(x)有极大值；

2⑤当x2时，函数yf(x)有极大值；

7

则上述判断中正确的是 ．

y

32

12

O

1

2

34

5

x

【解析】

考点：

利用导数研究函数的单调性

分析：

根据函数单调性和导数之间的关系，利用数形结合即可得到结论．

解答：

（1）由导数图象可知，当3＜x＜4，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当4＜x＜5，f′（x）＞0，函数单调递增，函数y=f（x）在区间（3，5）内不单调；故（1）错误．

（2）当-0.5＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当2＜x＜3，f′（x）＜0，函数单调递减，函数y=f（x）在区间（-0.5，3））内不单调；故（2）错误．

（3）当-2＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，即函数y=f（x）在区间（-2，2）内单调递增；故（3）正确，

（4）当-2＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，∴当x=-0.5时，函数y=f（x）有极大值错误；故（4）错误，

（5）当-0.5＜x＜2，f′（x）＞0，此时函数单调递增，当2＜x＜3，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x=2时，函数y=f（x）有极大值；故（5）正确，

故正确的命题是（3）（5），

故答案为：（3）（5）

设计意图

教师引导学生思考应用导数信息确定函数大致图像，利用导数的正负可以判断函数的增减性，求函数的单调区间，同样，利用导数的正负还可以绘制函数的大致图象。

通过学生自己归纳和总结进一步理解本节课的重要内容及解题方法

8

训练内化2

7、函数yf(x)在定义域(,3)内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf/(x)，则不等式f/(x)0的解集为_____________ 【解析】

考点：

函数的图象

分析：

不等式的解集为函数f（x）的减区间．

解答：

32131∴f′(x)⩽0的解集为[−,1]∪[2,3).

31故答案为：[−,1]∪[2,3).

3

由图象可知f(x)在区间[−,1]和[2,3)上单调递减，

8.

函数f(x)的定义域为开区间(,3)，导函数f(x)在(,3)内的图象如图所示，则函数f(x)的单调增区间是_____________ 【解析】当-1＜x＜3232148或者x，f′（x）＞0，此时函数单调递增，所以单调区间为

233

答案：设计意图

学习由易到难

让学生熟悉利用导函数求函数图像的方法，

练习采用提问、投影演示等形式讲解。

通过练习进一步培养学生看图及识图的能力。

类型三：利用导数的几何意义判断图像。

9.（2009湖南卷文）若函数yf(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数yf(x)．．．在区间[a,b]上的图象可能是

( )

9

y y y y o a

b x o a o b x a o b x a b x

A ． B． C． D．

10.若函数yf'(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数，则函数yf(x)在区间(x1,x2)内的图像可以是（ ）

A B C D 【解析】

考点：

导数的几何意义，函数单调性的判断与证明，函数的图象

分析：

根据函数的单调性与导函数的关系，进行判断即可．

解答：

∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，

∴函数y=f(x)的切线斜率越来越大，

A. 中函数图象的切线斜率越来越大，满足条件。

B. 中函数图象的切线斜率越来越小，不满足条件。

C. 中函数图象的切线斜率是常数，不满足条件。

D. 中函数图象的切线斜率先越来越大，然后越来越小，不满足条件。

故答案为：9.A 10.B

10

11.已知函数y=f’(x),y=g’(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

【解析】

考点：

[利用导数研究函数的单调性] 分析：

根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案．

解答：

从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B，

再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小,可明显看出y=f(x)的导函数的值在减小，

所以原函数应该斜率慢慢变小，排除AC，

故选D.

类型四：根据实际问题判断图像。

12.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）

hhhhOtOtOtOt

【解析】

考点：

[函数的图象与图象变化]

11

分析：

根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键，可以判断出该几何体是圆锥，下面细上面粗的容器，判断出高度h随时间t变化的可能图象．

解答：

该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗，

随时间的增加，可以得出高度增加的越来越慢。

刚开始高度增加的相对快些。曲线越“竖直”，之后，高度增加的越来越慢，图形越平稳。

故选B. 13..如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

【解析】

考点：

[函数的图象] 分析：

结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．

解答：

因为图(1)是圆柱体，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，所以所对应的图象为B；

图(2)因几何体下面宽上面窄，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的慢，上面增加的快，即图象应越来越陡，所以所对应的图象为A；

图(3)因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来平缓，所以所对应的图象为D；

图(3)图中几何体两头窄、中间宽，所以水的高度增加的先快后慢最后再快，则图象先平缓再变陡，所以所对应的图象为C；

故选：D

14.如图为y=f(x)的图像，请同学们画出y=f'(x)的图像

12

y21–3–2–1O1234x–1–2–3

思考，你能再画出一个y=g（x）的图像，使g'(x)=f’(x) 【解析】

设计意图

学习由易到难

1、让学生熟悉利用导函数求函数图像的方法，

2、考察导函数单调区间和函数凹凸的关系. 练习采用提问、投影演示等形式讲解。

通过练习进一步培养学生看图及识图的能力。

总结： 1.一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，

那么函数在这个范围内变化的快，

这时，函数的图像就比较“陡峭”；

反之，函数的图像就“平缓”一些．

2.当x从小变大时，斜率变大即f(x)也从小变大.f(x)单调增加，f(x)的图像为凹弧当x从小变大时，斜率变小即f(x)也从大变小.f(x)单调减少，f(x)的图像为凹弧

13

类型五:初识三次函数的图象

15（1）试确定函数y导函数图象 【解析】

由题意，f'(x)=x−2x−3=(x−3)(x+1)，

由f'(x)>0，可得函数的单调递增区间为(−∞,−1),(3,+∞)；由f'(x)<0，可得函数的单调递减区间为(−1,3). 故答案为：

函数的单调递增区间为

(−∞,−1),(3,+∞)

函数的单调递减区间为(−1,3) 213xx23x1的单调区间，并在同一坐标系中画出此函数与它的31(2)若函数为f(x)x3或f(x)x3x22x1,图象又会如何？3

【解析】

14

由题意，f'(x)=-x2+2x-2=-(x−1)2-1>0 由f'(x)<0，可得函数的单调递减区间为R；

当x1时，y单调递减,曲线在(,0]为凸的；当x1时，y单调递增,曲线在(,0]为凹的；]

复习2:二次函数的图象与性质

探究：想一想:三次函数与其导函数图象之间的关系

15

总结：三次函数的图像

a>0，f'(x)3ax22bxc

4b2-12ac4(b2-3ac)

16

设计意图

让学生学会用之前学过的方法初步研究三次函数

训练内化3 3216.如图为函数f(x)axbxcxd的图象，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf'(x)0的解集为_ 【解析】

考点：

函数的图象，一元二次不等式的解法

分析：

先从原函数的极值点处得出导数的零点，再利用导函数是二次函数的特点，结合二次函数的图象，即可解出不等式x•f′（x）＜0的解集．

解答：

由图可知：

±3是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的两个极值点，且a>0 即±3是导函数f′(x)的两个零点，

导函数的图象如图，

由图得：

不等式x⋅f′(x)<0的解集为：

(−∞,−3)∪(0,3). 故答案为：(−∞,−3)∪(0,3).

17、函数yf(x)的图象过原点且它的导函数f'(x)的图象是如图所示的一条直线，则

17

yf(x)图象的顶点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】

设

，由图形知道

y 截距

b > 0，斜率

a ＜ 0．于是

，它的图象的顶点为（32）

，显然位于第一象限．选A

18.方程x－6x+9x－10=0的实根个数是________ 【解析】

考点：

利用导数研究函数的极值，根的存在性及根的个数判断

分析：

应用导数的几何意义易判断函数的增减性，然后根据极值判断实根的个数．

解答：

设f(x)=x−6x+9x−10，则f’(x)=3x−12x+9 令f’(x)=0得x1=1或x=3. ∴x⩽1时，f(x)单调递增，最大值为−6；当13时，f(x)单调递增，最小值为−10，

由上分析知y=f(x)的图象如图，与x轴只有一个公共点，

32所以方程x−6x+9x−10=0只有一个实根。

故答案为：1

19.函数f(x)3221312xax(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）3218 上为增函数，试求实数

的取值范围.

考点：

函数的单调性与导数的关系

分析：

求出原函数的导函数，求得导函数的零点1，a-1，然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数在不同区间内的单调性，最后借助于已知条件得到a-1与4和6的关系，则答案可求．

解答：

由f(x)1312xax(a1)x1，得

32f’(x)=x2−ax+a−1，

令f’(x)=0，解得x=1或x=a−1. 当a−1⩽1,即a⩽2时,f’(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数，不合题意；

当a−1>1,即a>2时,f’(x)在(−∞,1)上大于0,函数f(x)在(−∞,1)上为增函数，

f’(x)在(1,a−1)内小于0,函数f(x)在(1,a−1)内为减函数,f’(x)在(a−1,+∞)内大于0，

函数f(x)在(a−1,+∞)上为增函数。

依题意应有：

当x∈(1,4)时,f’(x)<0，

当x∈(6,+∞)时,f’(x)>0. ∴4⩽a−1⩽6，解得5⩽a⩽7. ∴a的取值范围是[5,7].

19

设计意图

对于学生来说，利用导数研究函数是一个全新的方法，为使学生对这一方法的引入不感到突然，安排了两简单的引例，引导他们发现引进导数的必然性，通过几何画板给学生直观感受，以便自然的得到结论，这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养。课后作业的不同层次的设置,既可以帮助学生巩固所学知识，又为学有余力的学生留有提升的空间. 五．回顾总结

七、板书设计

函数图像及导函数图象

六．布置作业

练习册

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