1.3.3 非（not）教学目标

§1.3逻辑联结词“且”“或”“非”

如图所示，有三种电路图．

用逻辑联结词构成新命题

问题1：甲图中，什么情况下灯亮？

提示：开关p闭合且q闭合．

问题2：乙图中，什么情况下灯亮？

提示：开关p闭合或q闭合．

问题3：丙图中什么情况下灯不亮？

提示：开关p不闭合．

用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题

(1)用逻辑联结词“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”．

(2)用逻辑联结词“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．

(3)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”.

在知识点一中的甲、乙、丙三种电路图中，若开关p，q的闭合与断开分别对应着命题p，q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p且q，p或q，非p的真与假．

问题1：什么情况下，p且q为真命题？

提示：当p真，且q真时．

问题2：什么情况下，p或q为假命题？

提示：当p假，且q假时．

问题3：什么情况下，綈p为真命题？

提示：当p为假时．

含有逻辑联结词的命题的真假判断

p 真

真

q 真

假

非p 假

假

p或q 真

真

p且q

真

假

含逻辑联结词命题的真假

假

假

真

假

真

真

真

假

假

假

1．新命题“p且q”的真假概括为：同真为真，有假为假；

2．新命题“p或q”的真假概括为：同假为假，有真为真；

3．新命题綈p与命题p的真假相反．

利用逻辑联结词构造新命题

[例1]

分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的命题．

(1)p：6是自然数；q：6是偶数．

(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．

(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．

[思路点拨]

先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．

[精解详析]

(1)p或q：6是自然数或是偶数．

p且q：6是自然数且是偶数．

綈p：6不是自然数．

(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．

p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．

綈p：菱形的对角线不相等．

(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．

p且q：3是9的约数且是18的约数．

綈p：3不是9的约数．

[一点通]

用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．

1．给出下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有(

) A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

解析：①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”，共有3个命题①③④使用逻辑联结词，故选C. 答案：C 2．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命

题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p或(綈q)”表示(

) A．甲的成绩超过9环或乙的成绩超过8环

B．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环

C．甲的成绩超过9环且乙的成绩超过8环

D．甲的成绩超过9环且乙的成绩没有超过8环

解析：綈q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p或(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环，故选B. 答案：B 3．分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题．

(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；

(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，

q：方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；

(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，

q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．

解：(1)“p或q”：π是无理数或e不是无理数；

“p且q”：π是无理数且e不是无理数．

(2)“p或q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p且q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等．

(3)“p或q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p且q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角．

4．判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”“非”，请指出其中的p，q. (1)菱形的对角线互相垂直平分；

(2)2是4和6的约数；

(3)x＝1不是不等式x2－5x＋6>0的解．

解：(1)是“p且q”形式的命题．其中p：菱形的对角线互相垂直．q：菱形的对角线互相平分．

(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数．

(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1是不等式x2－5x＋6>0的解.

含逻辑联结词的命题的真假判断

[例2]

指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．

(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；

(2)p：x2＋1≥1，q：3＞4；

(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；

(4)p：1∈{1,2}，q：{1}{1,2}．

[思路点拨]

要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假．

[精解详析]

(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；

(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；

(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；

(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．

[一点通]

判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：

(1)确定命题的形式；

(2)判断构成该命题的两个命题的真假；

(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．

5．若綈p或q是假命题，则(

) A．p且q是假命题

C．p是假命题

B．p或q是假命题

D．綈q是假命题

解析：由于綈p或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A. 答案：A π2x＋的最小正周期为2π；命题q：函数y＝tan x的图像关于直线x6．设命题p：函数y＝cos12＝3π对称，则(

) 2A．p为真

C．p且q为真

B．綈q为假

D．p或q为假

π2π2x＋的最小正周期T＝＝π，所以p为假命题；函数y＝tan x的图像不解析：函数y＝cos122是轴对称图形，不存在对称轴，所以q为假命题，所以綈q为真，p且q为假，p或q为假，故选D. 答案：D

含逻辑联结词的命题真假的应用

[例3]

已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

[思路点拨]

“p或q”为真，“p且q”为假，则p，q中必一真一假；可分p真q假，p假q真两种情况处理．

[精解详析]

由题意知，p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，

2Δ＝m－4>0，则p为真时，∴m>2. －m<0，

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，

则q为真时，Δ＝16(m－2)2－4×4<0，

即12，①若p真q假，则

m≤1或m≥3，

∴m≥3. m≤2，②若p假q真，则

1

∴1

[一点通]

根据p，q的真假求参数的取值范围时，要充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系，特别注意“p假”时，一般不从綈p为真求参数的取值范围，而利用补集的思想，求“p真”时参数的集合的补集．

7．若命题“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0成立”为假命题，则实数a的取值范围是________．

解析：该命题p的否定是綈p：“任意x∈R，x2＋(a－1)x＋1＞0”，即关于x的一元二次不等式x2＋(a－1)x＋1＞0的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a＜3，所以实数a的取值范围是(－1,3)．

答案：(－1,3) 8．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

解：设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，

所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，

故Δ＝4a2－16＜0，∴－2＜a＜2. 函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，则有3－2a＞1，即a＜1. 又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．

－2＜a＜2，①若p真q假，则∴1≤a＜2. a≥1，a≤－2，或a≥2，②若p假q真，则∴a≤－2. a＜1，

综上可知，所求实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．

1．正确理解逻辑联结词是解题的关键．日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是指两个中至少选一个．

2．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件又否定结论，要注意二者的区别．

1．已知命题p，q，若命题綈p是假命题，命题p∨q是真命题，则(

) A．p是真命题，q是真命题

B．p是假命题，q是真命题

C．p是真命题，q可能是真命题也可能是假命题

D．p是假命题，q可能是真命题也可能是假命题

解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题，由于命题p或q一真则真，所以q可能是真命题也可能是假命题，故选C. 答案：C 2．对命题p：1∈{1}，命题q：1∈/∅，下列说法正确的是(

) A．p且q为假命题

C．非p为真命题

解析：由已知易得命题p和q均是真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题，非p为假命题，非q为假命题，故选D. 答案：D 3．命题“若a∉A，则b∈B”的否定是(

) A．若a∉A，则b∉B

C．若a∈A，则b∉B

B．若a∉A，则b∈B

D．若b∉A，则a∈B

B．p或q为假命题

D．非q为假命题

解析：命题的否定只否定其结论，为：若a∉A，则b∉B.故应选A. 答案：A 4．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x＜0.下列选项中为真命题的是(

) A．綈p

C．綈q且p

B．綈p或q

D．q

解析：很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p或q为假命题，綈q且p为真命题，故选C. 答案：C 5．分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：

(1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是________的形式；

(2)命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是________的形式；

(3)命题“非空集∁UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式．

解析：(1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素，且是B中的元素”，故填p且

q；(2)“是A中的元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”，故填p或q；(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”，故填非p. 答案：p且q

p或q

非p

6．已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若綈p是假命题，则a的取值范围是________．

解析：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．

∵綈p为假，则p为真，

即函数在(－∞，4]上为减函数，

∴－(a－1)≥4，即a≤－3，

∴a的取值范围是(－∞，－3]．

答案：(－∞，－3] 7．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”表示下列命题：

(1)命题s：两次都击中飞机；

(2)命题r：两次都没击中飞机；

(3)命题t：恰有一次击中了飞机；

(4)命题u：至少有一次击中了飞机．

解：(1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p且q. (2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为綈p且綈q. (3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：一是第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为

p且綈q，二是第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为綈p且q，所以命题t表示为( p且綈q)或(綈p且q)．

(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p或q. 法二：綈u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是綈r，从而命题u表示为綈(綈p且綈q)．

法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p且綈q)或(綈p且q)或(p且q)．

8．已知p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

解：由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题可知p，q一真一假．

p为真命题时，Δ＝a2－16≥0，

∴a≥4或a≤－4；

aq为真命题时，对称轴x＝－≤3，

4

∴a≥－12. a≥4或a≤－4，当p真q假时，得a<－12；

a<－12，－4

综上所述，a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．

一、命题

1．命题：能够判断真假、用文字或符号表述的语句叫命题．感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等都不是命题．

2．四种命题：

原命题与它的逆命题、否命题之间的真假关系是不确定的，而原命题与它的逆否命题(它的逆命题与它的否命题)同真同假．

正是因为原命题与逆否命题的真值一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题．

二、充分条件与必要条件

1．关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定．

若“p⇒q”，且“p⇐/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，同时q是p的“必要不充分条件”；

若“p⇔q”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；

若“p⇔/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”．

2．利用集合关系判断充分必要条件：

若AB，则x∈A是x∈B的充分不必要条件，x∈B是x∈A的必要不充分条件；

若A＝B，则x∈A与x∈B互为充要条件；

若A

B且B

A，则x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件．

三、全称量词与存在量词

1．全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个x验证命题成立；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．

2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只需在限定集合中找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题为假．

四、逻辑联结词

1．由“且”“或”“非”构成的新命题有三种形式：“p或q”“p且q”“非p”．

2．含逻辑联结词的命题的真假判断：

“p或q”中有真为真，其余为假；“p且q”中有假为假，其余为真．

3．命题的否定与否命题的区别：

否命题既否定条件又否定结论，其真假与原命题的真假无关；而命题的否定只否定结论，其真假与原命题的真假相反．