3.4 生活中的优化问题举例教案3

生活中的优化问题举例

授

课

人：黄石六中

涂杨剑

【教学目标】

1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；

2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】

教学重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．

教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，将实际问题转化为数学问题，建立函数模型,并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】

(一)复习回顾: 解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由

极值

和端点的函数值确定，当定义域是开区间且函数只有一个极值时，这个极值也就是它的最值．

（二）情景导入、展示目标

教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： ①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

②“汽油的使用率最高”的含义是什么？

通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课。

（三）合作探究、精讲点拨

（1）提出概念

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

（2）引导探究

例1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、

右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

探究：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？

注:

1．解决实际应用问题的基本步骤:

(1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化．

(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地，设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关的知识，将问题中的数量关系表示为一个数学关系式，实现问题的数学化，即建立数学模型．

(3)运用数学知识和方法解决上述问题．

(4)检验结果的实际意义并给出答案．

2．求最优化问题的步骤

(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y＝f(x)；

(2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗? ①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

例3．如何使一个圆形磁盘储存更多信息

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

①是不是r越小，磁盘的存储量越大？

②r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

（四）课堂总结

导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

（五）巩固练习：

1.一条长为l的铁丝截成两段，分别

弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

2.在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少? 3.某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?

4.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200－x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产15

品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本) 5.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人(不到100人不组团),要使旅行社的收费最多, 旅游团组团人数为多少? 6.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知当速度为10km的燃料费是6元,而其他与速度无关的费用是96元,问轮船以何hhh种速度航行时,能使行使路程的费用总和最小?