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立体几何之利用空间向量求解空间角（教学设计）

铜仁市第十五中学 戴剑

【学习目标】参考《2018高考大纲》 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

2.理解直线的方向向量与平面的法向量；

3.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题。

一、课堂导学：

1、

考情分析：

2、

命题方向：常以棱柱、棱锥、棱台为载体，解答题第二问主要考查直线与平面、平面与平面的夹角的有关计算.

解决方法：利用空间向量求空间角的一般步骤：

第一步：建立空间直角坐标系；

第二步：确定点的坐标；

第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；

第四步：计算向量的夹角；

第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 3、

必备基础（公式）知识：

(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足

cosθ= .

. (2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ= .

. (3)二面角：如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的平面角大小θ＝

．

如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的平面角θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，即二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．

4、近几年高考立体几何解答题分析：

典例1

（2015·全国卷Ⅱ）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；

(2)求直线AF与平面所成角的正弦值. D1

A1

E D F B1

C1

C B

A

典例2(2014·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. (1)证明：直线PB∥平面AEC. (2)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3,求三棱锥E-ACD的体积. P

E A B

D C

我的收获：

。 5、课后作业：

1、(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；

(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．

2、(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点. (1)证明：MN∥平面PAB. (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

3、(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC. (2)求二面角E-BC-A的余弦值.

4、(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= 1AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点. 2(1)证明：直线CE∥平面PAB. (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M -AB-D的余弦值.