一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案设计（一等奖）

湖州市第五中学教育集团第十一届教学科研节

高中数学备课组

“玩转”圆锥曲线定义

圆锥曲线的定义不仅给出了圆锥曲线的意义，也是解题的重要工具.灵活运用圆锥曲线的定义，有助于快速解答关于圆锥曲线的有关问题，可以在解题中“偷懒”.比如求点的轨迹、求离心率、求最值、判断曲线类型等各方面的题目都可以应用曲线的定义来解题.究竟怎样的问题适合用圆锥曲线定义更好、更合理来解答呢？今天我们一起来探讨一下. 一、怎么玩？

回顾三种曲线的定义：

曲线类型

椭圆

双曲线

抛物线

定义（用符号语言表示）

引例：如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内的一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，Q点的轨迹是什么？请说明理由.

思考：如果A圆O外的一个定点，情况又如何？

我的地盘，我做主！

PQOAlPQOOQAl

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二、玩什么？

（一）“玩”在化简求值问题上.

1、化简表达式：已知实数x,y满足x2y+3x2y-310.

x2y22、已知点F1c,0和点F2c,0是椭圆221(ab0)和双曲线abx2y21(m,n0)的公共焦点，点P是两条曲线的交点，PF1PF2=

. m2n222

（二）“玩”在求动点轨迹方程问题上.

1、一动圆O与圆O1:(x3)2y21外切，与圆O2:(x3)2y281内切，试求动圆圆心O的轨迹方程

.

2、试一试：自己能构造与双曲线、抛物线有关的问题吗？

我的地盘，我做主！

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（三）“玩”在求离心率问题上.

x2y21、已知点F1c,0和点F2c,0是椭圆221(ab0)的两个焦点，若直线aby3(xc)与椭圆的一个交点P满足F1PF2

2，则椭圆的离心率为

. x2x2y222、如图，F1、F2是椭圆C1:y1与双曲线C2:221(a0,b0)的公共4ab焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是

(

) A、2

B、3

C、36

D、

22

（四）“玩”在求最值问题上.

1、点P在抛物线y24x上，点F为抛物线的焦点，点B在圆C:(x4)2(y1)21上运动，则PFPB的最小值为

.

x2y21上，点A在曲线C1:(x4)2y21上，点B在曲线2、点P在椭圆259C2:(x4)2y21上，则PAPB的最小值为

.

我的地盘，我做主！

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x2y21上，点A在曲线C1:(x5)2y21上，点B在曲线3、点P在双曲线169C2:(x5)2y21上，则PAPB的最大值为

.

三、玩中悟！

（一）你真的会玩了吗？请试一试！

1、已知以F12,0和F22,0为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有一个焦点，则椭圆的长轴长为

. x2y22、已知双曲线221(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2，若在双曲线ab的右支上存在一点P，使得PF14PF2，则双曲线的离心率的取值范围是

. 93、设抛物线y22x的焦点为F，以P,0为圆心，PF长为半径作一圆，与2抛物线在x轴上方交于M、N，MFNF的值为

. （二）请把你“玩”的收获记录下来！

总之，巧妙地运用圆锥曲线的定义解题，一方面使我们能迅速抓住问题本质，通过数形结合，避开复杂的运算，解开题目；另一方面使我们进一步理解和掌握圆锥曲线的定义，将圆锥曲线和相关的知识融会贯通，为进一步学好数学知识打下坚实的基础. 我的地盘，我做主！

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教后反思：

著名数学教育家乔治·波利亚认为：直接从老师或书本那儿被动地不假思索地接受过来的知识，可能很快忘掉，难以真正变成自己的东西.我们在学生自学的基础上，创设交流、探究的平台，让学生感到自己不再是听众，而是数学活动的主角，就会变被动接受为主动参与，毫无顾忌地将自己本领展现给大家，无论是对是错，正确的东西可及时得到确认，谬误的东西可以及时得到纠正，此时的注意力总是比较集中地，容易留下深刻印象.

生本课堂重在培养学生自主学习的能力，树立“以学生为主体”的教学思想，为学生创造一种主动参与，合作学习，积极探究的宽松、和谐、愉悦的良好学习氛围.让学生从被动的听众变成课堂活动的主角，采取“先学后教，以学定教，少教多学，师生互动”的方式，“变教为学，变听为讲”彻底变革课堂教学，做到基础知识学生“讲”，典型例题学生“析”，知识网络学生“织”，问题探讨师生“议”，让学生的综合能力在课堂中得到提高，让教师的教学机智在课堂中得到提升，实现学生乐学教师乐教的共生效应. 本节课是在“生本教育”理念指导下进行的，利用小组合作模式，充分发挥学生的自主权，问题地解决依靠学生的自我发现，自我完善.整节课下来，学生积极性很高，参与度广，总共有近20人次上台来展示和讲解自己的解题思路，取得了较好的课堂效果.

但在本节课中也存在一些问题值得反思.特级教师冯寅在评课中说到：（1）这样的课堂模式很可能造成两极分化，需要关注每一个学生；（2）学生书写的规范性不到位，需要教师自身做好规范；（3）课堂中需要注重对问题本质地提炼. 我的地盘，我做主！