小结教学设计和教学实录

导数及导数在研究函数中的应用

一、教学目标

1.理解导数的几何意义，会求曲线的切线方程；能根据导数的定义，求一些简单函数的导数；能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

2.了解函数单调性和导数的关系，会求函数的单调区间；会用导数求函数的极(最)大值、极(最)小值.

二、教材分析

教学重点：导数概念与运算法则，导数法求曲线切线方程、函数的单调区间和极(最)值

教学难点：切线方程的求法，含参数函数曲线的单调性和极值(最值)问题。

教学过程

一、知识过关

（学生默写）

二、例题分析

练习1下列求导运算中正确的是(

) 111A．(x＋)′＝1＋2

B．(lg x)′＝C．(ln x)′＝x

D．(x2cos x)′＝－2xsin x xxxln 10

例1求下列函数导数及x=1时的f′(x)的值：

(1)f(x)＝exln x；

(2)f(x)＝x(x2+)

规律方法：

(1)熟记基本函数的导数公式及运算法则,求导之前应化简再求导. (2)如函数为根式或分式形式，可先化为分数指数幂，再求导.

例2..(2017全国Ⅰ)曲线yx

练习2. (2015全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝_____.

方法：导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上. 21在点（1,2）处的切线方程为

.

x

例3.(选修1-1P91例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象,则下列对f(x)有关的判断中正确的是(

)

A. f(x)在区间(-3,0)上是减函数

B. f(x)在区间(1,3)上是减函数

C. f(x)在区间(0,2)上是减函数

D. f(x)在区间(-3,2)上是单调函数

思考：

5 1、你能说出f(x)在开区间(-3,5)内有哪些单调递增区间吗？

2、函数y=f(x)在开区间(-3,5)内有极小值点有(

)

A.1个

B.2 个

C.3个

D.4个

规律方法:导数法判断(证明)函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤

(1)明确定义域后求f′(x)；

(2)确认f′(x)在(a,b)内的符号；

(3)得出结论:f′(x)>0时为增函数;f′(x)<0时为减函数.

练习3. (2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(

) A.－4

B.－2

C.4

D.2

规律方法：求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) ；

(2)求方程f′(x)=0的根x0；

(3)

确定x0附近f′(x0)

正负情况，得到结论.

x2例4.

(2015北京）设函数fxklnx，k0.求fx的单调区间和极值.

2

三、课时小结: [思想方法] 对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则. 已知函数解析式求单调区间，实质是求f′(x)>0，f′(x)<0的解，并注意函数f(x)定义域. [易错防范] 1.求单调区间应遵循定义域优先的原则. 2.曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点.

练习检测

1、(2017浙江)函数y=f(x)的导函

数yf(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是(

)

2.(2017山东改编)已知函数fx1312xax,aR,当a=2时，曲线yfx在点323,f3处的切线方程为

.

3.(2014浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)

24.已知函数f(x)＝－x在点P处的切线的斜率为－2，则点P的坐标为____________.

附：知识过关内容 1.写出下列函数的导数

原函数

f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f(x)＝lnx f(x)＝logax (a>0,且a≠1) 导函数

f′(x)＝ f′(x)＝

f′(x)＝

f′(x)＝

f′(x)＝

f′(x)＝

f′(x)＝

f′(x)＝

2、导数的运算法则

[f(x)±g(x)]′＝

;

[f(x)·g(x)]′＝

;

fx[]′＝

(g(x)≠0)。

gx

3．导数几何意义与切线方程

几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)是y＝f(x)上点P(x0，y0)处切线的斜率。因此，可得函数y＝f(x)上的点P(x0，y0)处的切线方程为

4、函数的单调性与导数

f′(x)>0则f(x)为 ； f′(x)<0则f(x)为 。

说明：个别函数f′(x)≥0也可得到f(x)为单调函数。如函数f(x)=x3，f′(x) =x2≥0,f(x)是增函数．

5、判断可导函数f(x)的极值的方法

(1)若x0附近左侧f′(x)＞0,右侧f′(x)＜0,那么f(x0)是极_____值；

(即：左 右 ，f(x0)极 ) (2)若x0附近左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0,那么f(x0)是极_____值．

(即：左 右 f(x0)极 ).