探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教案设计

一道高考题的思考

圆锥曲线的考纲要求 : 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 2. 掌握椭圆，抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单性质。 3. 了解双曲线的定义，几何图形，标准方程，知道它的简单性质。 4.了解圆锥曲线的简单应用。 5.理解数形结合的思想。 教学目标: 1.了解圆锥曲线的简单应用中的直线过定点问题。

2.将几何问题代数化，考查学生的运算能力和推理能力。

3.从不同角度，不同层次，通过变式探究，有意识的培养学生的数学抽象能力。从而向解“一题”就可以解决“一类题”的目标发展。

教学重难点: 1．圆锥曲线问题中的定点问题被代数化，提高学生的运算能力。

2．通过对问题中条件的变式探究，从特殊到一般，从椭圆引申到双曲线，抛物线的过程，层层深入，有意识地培养学生的数学抽象能力。

教学过程: 实例引入 : 已知椭圆C:

,四点

三点在椭圆C上。

(I) 求椭圆C的方程；

(II) 设直线L不经过

点且与椭圆C相交于A,B两点。若直线

A与直线

B的斜率之和为-1，求证：直线L过定点。

探究1.由于引例涉及直线

A与直线

B的斜率之和为-1.自然联想到若直线

A与直线

B的斜率之积为-1，是否也有类似的结论？

变式1.设直线L不经过椭圆C:

上点P(0,1),且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之积为-1，求证：直线L过定点。

探究2.引例中直线

A与直线

B的斜率之和为-1.这个值能变化吗？若和变为

中恰有

λ，则直线L是否过定点？

变式2.设直线L不经过椭圆C:

上点P(0,1),且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为λ（λ

），求证：直线L过定点。

探究3. 将点P(0,1)换成其它三个顶点，是否有类似的结论？

变式3.1 设直线L不经过椭圆C:

上点P(0,-1),且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为λ（λ

），求证：直线L过定点。

变式3.2 设直线L不经过椭圆C:

上点P(2,0),且与椭圆C相

交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为λ（λ

），求证：直线L过定点。

变式3.3 设直线L不经过椭圆C:

上点P(-2,0),且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为λ（λ

），求证：直线L过定点。

探究4. 将椭圆方程变为双曲线和抛物线方程呢？

变式4.1 设直线L不经过双曲线C:

上点P(1,0),且与双曲线C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为1，求证：直线L过定点。

变式4.2设直线L不经过抛物线C:

上点P(1,2),且与抛物线C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为1，求证：直线L过定点。

探究5， 将椭圆方程一般化

，以上的结论还成立吗？将点P也一般化为

呢？以及直线PA与直线PB的斜率之和为λ，直线PA与直线PB的斜率之积为λ，也会有相关的对应结论吗？

变式5.1设直线L不经过椭圆C:

上点P

,且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之和为λ（λ

），求证：直线L过定点。

变式5.2设直线L不经过椭圆C:

上点P

,且与椭圆C相交于A,B两点。若直线PA与直线PB的斜率之积为λ（λ

），求证：直线L过定点。

总结: 课后作业: 5.1,5.2任选一题完成。

问题的拓展层层深入，不断揭示数学的本质。从而形成了一般性的结论。同学们在这个过程中，数学抽象能力也得到了提升。但是不同的同学可能深入的层次是不一样的。 本节课只是给同学们在以后遇到解析几何问题，或者导数压轴题，甚至是以后的二轮专题复习，我们要有解决“一个问题”就能找到解决“一类问题”的思考与行动。