小结板书设计

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

[归纳·知识整合]

1．命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定

p 真

真

假

假

[探究]

1.逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系？

提示：“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题．

2．全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．

3．含有一个量词的命题的否定

命题

∀x∈M，p(x)

∃x0∈M，p(x0)

[探究]

2.全称命题(特称命题)的否定还是全称命题(特称命题)吗？其真假性与原命题有什么关系？

提示：不是．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好相反．

[自测·牛刀小试]

1．(教材改编题)下列命题是真命题的是(

) 命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q 真

真

真

假

綈p

假

假

真

真

①27是3的倍数或27是9的倍数；

②27是3的倍数且27是9的倍数；

③平行四边形的对角线互相垂直且平分；

④平行四边形的对角线互相垂直或平分；

⑤1是方程x－1＝0的根，且是方程x2－5x＋4＝0的根．

A．①③⑤

C．①②④⑤

B．①②③⑤

D．①②③④⑤

解析：选C

平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故③错误．

π2．命题p：“已知0

) 2πA．已知x≤0或x≥，若xcos x<1，则xcos2x≥1 2πB．已知x≤0或x≥，若xcos x≥1，则xcos2x≥1 2πC．已知0

在命题p中，“已知0

) A．∀x∈R,2x1>0

－B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x0∈R，tan x0＝2 －C．∃x0∈R，lg x0<1

解析：选B

A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x1>0；B项，∵x∈N*，11∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x0＝时，lg ＝－1<1；D项，当1010x0∈R时，tan x0∈R，∴∃x0∈R，tan x0＝2. 4．(教材改编题)(1)命题p：任意两个等边三角形都是相似的，则綈p：__________. (2)命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2＝0，则綈p：__________. 解析：(1)全称命题的否定为特称命题，则綈p：存在两个等边三角形，它们不相似．

(2)特称命题的否定为全称命题，则

綈p：∀x∈R，x2＋2x＋2≠0 答案：(1)存在两个等边三角形，它们不相似

(2)∀x∈R，x2＋2x＋2≠0

15．已知命题p：∃x0∈R，x0

2＋2≤2；命题q是命题p的否定，则命题p、q、p∧q、x0

p∨q中是真命题的是________．

解析：x0＝±1时，p成立，所以p真，q假，p∧q假，p∨q真．

答案：p、p∨q

[例1]

已知命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题；

②命题“p∧綈q”是假命题；

③命题“綈p∨q”是真命题；

④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是(

) A．②③

C．①③④

B．①②④

D．①②③④

含有逻辑联结词的命题的真假判断

[自主解答]

命题p：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)是真命题，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1

[答案]

D ———————————————————

判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式命题真假的步骤

(1)准确判断简单命题p、q的真假；

(2)根据真值表判断“p∧q”、“p∨q”、“綈p”命题的真假．

1．(2013·长春名校联考)命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(

) A．“p或q”是真命题

C．綈p为假命题

B．“p或q”是假命题

D．綈q为假命题

解析：选B

∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题－x＋1，x≤0，q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题. －x＋2，x>0，

全称命题、特称命题的真假判断

[例2]

(1)下列命题中，真命题是(

) π0，，sin x0＋cos x0≥2 A．∃x0∈2B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x0∈R，x0

2＋x0＝－1 πD．∀x∈2，π，tan x>sin x

(2)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若m满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(

) A．∃x0∈R，f(x0)≤f(m) B．∃x0∈R，f(x0)≥f(m) C．∀x∈R，f(x)≤f(m) D．∀x∈R，f(x)≥f(m) πx＋≤

2，∴此命题不成立；对于[自主解答]

(1)对于选项A，sin x＋cos x＝2sin4选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；对于选项C，x213x＋2＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；对于选项＋x＋1＝24πD，当x∈2，π时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．

b(2)∵a>0，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在x＝－处取得最小值．

2a∴f(m)是函数f(x)的最小值．故C错误．

[答案]

(1)B

(2)C

在本例(2)中，若将“a>0”改为“a<0”，其他条件不变，则如何选择？

解析：选D

若a<0，则f(m)为函数f(x)的最大值，故选项D错误．

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1．全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

2．下列命题中是假命题的是(

) A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β

B．对任意x>0，有lg2x＋lg x＋1>0 C．△ABC中，A>B的充要条件是sin A>sin B

D．对任意φ∈R，函数y＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

解析：选D

对于A，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A是真命133lg x＋2＋≥>0，因此选项B是真命题；对于C，在题；对于B，注意到lg2x＋lg x＋1＝244△ABC中，A>B⇔a>b⇔2Rsin A>2Rsin B⇔sin A>sin B(其中R是△ABC的外接圆半径)，因此π选项C是真命题；对于D，注意到当φ＝时，y＝sin(2x＋φ)＝cos 2x是偶函数，因此选项D2是假命题.

[例3]

写出下列命题的否定，并判断其真假．

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0. 1[自主解答]

(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋<0，假命题．

4(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．

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含有一个量词的命题的否定

1.对含有一个量词的命题进行否定的方法

一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论. 2．常见词语的否定形式

正面词语

否定词语

是

不是

都是

不都是

>

≤

至少有一个

一个也至多有一个

至少有两对任意x∈A使p(x)真

存在x0∈A，

没有

个

使p(x0)假

3．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________．

解析：省略了全称量词“任何一个”，否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0. 答案：有些可以被5整除的数，末位不是0

[例4]

(2013·济宁模拟)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是(

) A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C．(－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞) a[自主解答]

命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，4即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a<－12；若p假q真，则－4

[答案]

C

保持本例条件不变，若p∧q为真，则如何选择？

解析：选B

p∧q为真，∴p和q均为真．

∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．

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根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

4．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋11在2，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．

根据命题真假确定参数的取值范围

解：∵函数y＝cx在R上单调递减，∴00且c≠1，∴綈p：c>1. 111，＋∞上为增函数，∴c≤.即q：00且c≠1，又∵f(x)＝x2－2cx＋1在

2221∴綈q：c>且c≠1. 2又∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p真q假或p假q真．

11①当p真，q假时，{c|02且c≠1＝c|21}∩c|0

1个规律——含逻辑联结词的命题的真假判断规律

(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；

(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；

(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．

2种方法——含量词的命题的否定及真假判断方法

(1)全称命题真假的判断方法(见例2)；

(2)特称命题真假的判断方法(见例2)；

(3)含量词的命题的否定方法是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论．

2个易错点——命题否定中的两个易错点

(1)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．

(2)p或q的否定为：綈p且綈q；p且q的否定为：綈p或綈q.