小结精品学案

第一章

常用逻辑用语章末小结

高考考情分析

逻辑是研究思维形式及规律的一门基础学科，基本的逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具，因此，高考对本章内容的考查以考查四种命题、逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定为主，以及以充要条件为载体考查函数、数列等知识．在难度上以容易题为主，题型主要是选择题和填空题．

•四种命题的关系

∈R) (1)写出它的逆命题、否命题、逆否命题；

(2)判断这四个命题的真假；

(3)写出原命题的否定．

•

[解析]

(1)逆命题：若a＋c

•

否命题：若a≥b，则a＋c≥b＋c.

设原命题为“若a

•

逆否命题：若a＋c≥b＋c，则a≥b. •

(2)∵a

•

∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命题是真命题，则其逆命题是真命题.

•

(3)原命题的否定是：∃a、b满足a

使a＋c≥b＋c. •

[点评]

命题的否定形式与命题的否命题不同，前者只否定原命题的结论，而后者同时否定条件和结论．

•

若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时分别指出它们的真假．

•

[解析]

逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，逆命题为真．

•

否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，否命题为真．(逆命题与否命题是等价的) •

逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，逆否命题为假．(逆否命题与原命题等价)

•根据复合命题的真假，求参数的值或取值范围

已知命题p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若p、q一真一假，求m的取值范围．

[解析]

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，

设为x1、x2，则有

x1＋x2＝－m<0x1·x2＝1>0Δ＝m2－4>0

，解得m>2. 方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．

则有Δ＝16(m－2)2－4×4×1<0，解得12当p真q假时，即，得m∈[3，＋∞)．

m≤1或m≥3m≤2当p假q真时，即，得m∈(1,2]．

1

[点评]

此种类型的题目往往是先假设命题p和q都是真命题，求出参数的取值范围．若有假命题，则参数的范围就是使之为真命题时的补集．该题中p、q一真一假，则需分类讨论：p真q假、p假q真，分别求出参数m的范围，最后取并集．

22•

(2014·邢台一中第二次月考)已知命题p：方程ax＋ax－2＝0在[－1,1]上有2解；命题q：只有一个实数x满足不等式x＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

21[解析]

由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，∴x＝－a或x＝a，

21∵x∈[－1,1]，故|a|≤1或|a|≤1，∴|a|≥1. 只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0. 即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，

∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2. 又命题“p或q”是假命题，

|a|<1，∴p假且q假，∴

a≠0且a≠2，

•充分条件、必要条件、充要条件的应用

已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

•

[分析]

解决本题可先求出命题p和q成立的条件，再得到¬p，利用¬p是¬q的必要不充分条件，则¬q⇒¬p，求出a的取值范围，或利用等价条件p⇒q求得a.

[解析]

由x2－4ax＋3a2<0且a<0，得3a

∴p：3a

∴q：－2≤x≤3. ∵¬q⇒¬p，∴p⇒q. 3a≥－2∴a≤3a<0

2，解得－3≤a<0，

2∴a的取值范围是[－3，0)．

•

[点评]

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p、q等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

11已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是3

[解析]

∵|x－m|<1，∴m－1

11由题意3，21m－1≤3∴1m＋1≥2(m－1，m＋1)，

且等号不同时取得，

14∴－2≤m≤3，

14∴实数m的取值范围是－，. 23

•含有一个量词的命题的否定

已知两个命题：r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x＋mx＋1>0，如果2对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．

•

[分析]

若∀x∈R，f(x)为真命题，则m<(sinx＋cosx)的最小值即可；若∀x∈R，2s(x)为真命题，则Δ＝m－4<0.

π[解析]

∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)≥－2，

4∴当r(x)是真命题时，m<－2. 又∵对∀x∈R，s(x)是真命题时，

即x2＋mx＋1>0恒成立，

有Δ＝m2－4<0，∴－2

当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－2且－2

x2•

已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥e”，命题q：“∃x∈R，x＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(

) •

A．[e,4]

B．[1,4] •

C．(4，＋∞)

D．(－∞，1]

•

[答案]

A

[解析]

若命题p为真命题，则∀x∈[0,1]，a≥ex的最大值．

又∵ex在x∈[0,1]上的最大值为e，∴a≥e. 若命题q为真命题，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4. ∵“p∧q”是真命题，

∴p、q均为真命题，则有a≥ea≤4

，

∴e≤a≤4.