1.1.3 四种命题间的相互关系名师教学设计1

1.1.3 四种命题间的相互关系

教学内容分析：

本节课高中数学人教版选修2-1第一章常用逻辑用语第一大节第三课时内容它的前面一节里已介绍了命题的概念以及四种命题的形式，学生有了一定的基础，理解起来占优势，它也为后续学习奠定基础，这节课本身也是高考内容。

教学目标

◆知识与技能：明确四种命题间的相互关系，能判断四种命题的真假以及真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证。

◆过程与方法：通过实例验证四种命题间的相互关系，使学生体会研究四种命题真假性间的关系的过程，采用启发式教学。

◆情感、态度与价值观：培养学生逻辑推理能力，掌握“正难则反”的数学思想。

教学重点：四种命题之间的相互关系及真假性之间的联系

教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证．

教学资源：多媒体课件

教学过程：

一．

复习引入：

1. 四种命题的概念及形式：

原命题

若p，则q

逆命题

若q，则p

否命题

若p，则q

逆否命题

若q，则p

2.四种命题间的相互关系

课本：思考（ppt）

下列四个命题中，

（1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数；

（2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数；

（3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数；

（4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数；

命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是：（老师引导—学生回答）

我们发现，命题（2）、（3）是互为逆否命题，命题（2）、（4）是互否命题，命题（3）、（4）是互逆命题。

一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系，如下图所示：

互逆原命题逆命题

若p则q若q则p互

否为逆互互

否否逆

为否

互逆否命题否命题

若┐q则┐p若┐p则┐q互逆

那么四种命题的真假性之间是否也有关系呢？这就是我们这节课要研究的内容。

二、新课导入

一、

四种命题的真假性相互关系

1.

互逆命题的真假关系

判断下列命题的真假，并总结规律。

逆命题：若a+c>b+c，则a>b

原命题：若a>b，则a+c>b+c

原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直

逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形

原命题：若a>b，则ac2>bc2

逆命题：若ac2>bc2，则a>b

原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形

逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等

结 论 1 原命题的真假和逆命题的真假没有关系。

2.互否命题的真假关系

判断下列否命题的真假，并总结规律

原命题：若a>b，则a+c>b+c

否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直

否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直

原命题：若a>b，则ac2>bc2

否命题：若a≤b，则ac2≤bc2

原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。

否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形

结 论 2 原命题的真假和否命题的真假没有关系。

3.互为逆否命题的真假关系

判断下列逆否命题的真假，并总结规律。

原命题：若a>b，则a+c>b+c

逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直

逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形

原命题：若a>b，则ac2>bc2

逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b

原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形

逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等

结 论 3 原命题和逆否命题总是同真同假。

4.否命题和逆命题的真假关系

观察下列命题的真假，并总结规律。

否命题：若a≤b，则a+c≤b+c

逆命题：若a+c>b+c，则a>b

否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直

逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。

22否命题：若a≤b，则ac≤bc

逆命题：若ac2>bc2，则a>b

否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形

逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等

结 论 4 逆命题和否命题总是同真同假。

归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系

四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题。

发现：

练一练

1.判断下列说法是否正确。

1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真

2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。

3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。

4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。

2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。

典例精讲

例1 设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假. 分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留. 原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”. 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.

例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、

否命题、逆否命题，并分别指出其真假. 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或”

“且”. 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0. 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. 小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假.因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价.

例3.证明：若x2

＋

y2

＝0，则x=y=0．

分析：将“x2

＋

y2

＝0，则x=y=0.”视为原命题. 要证明原命题为真命题, 可以考虑证明它的逆否命题“若x,y中至少有一个不为0, 则x2

＋

y2

≠0”为真命题, 从而达到证明原命题为真命题的目的.

证明:若x,y中至少有一个不为0,不妨设x≠0,则x2>0,

所以 x2+y2>0

也就是说x2+y2≠0.

因此,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题. 课堂练习

原命题

真

假

真

假

逆命题

假

真

真

假

否命题

假

真

真

假

逆否命题

真

假

真

假

1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

2、命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假． 3、求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 课堂小结

四种命题的相互关系，以及它们之间的真假性关系，如何利用真假性关系进行推理证明。

（1）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；

（3）原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

课后作业：

P8页，习题1.1 2,3 反思