信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆优秀教案设计

信息技术应用

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

广州市美术中学

吴荣燕

一、教学内容分析

本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质及求动点轨迹方程的基础上进行的，着重通过《几何画板》对动点的轨迹探究引出椭圆的第二定义和准线方程，让学生离心率的几何意义和椭圆的第二定义的简单应用有进一步认识。

圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线。能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，而离心率的几何意义即“到定点的距离与到定直线的距离的之比”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说应用《几何画板》对点的轨迹进行探讨，在整章书中起到了一种“纽带”的作用。

教学重点：用几何画板探究动点的轨迹和椭圆第二定义的简单应用；

教学难点：掌握离心率几何意义以及椭圆准线方程的应用。

二、教学目标设置

1.

知识与技能目标

（1）通过几何画板的动态演示，探究椭圆的第二定义和离心率的几何意义；

（2）掌握椭圆第二定义的简单应用；

（3）了解椭圆椭圆的准线定义，掌握准线方程的应用。

2.

过程与方法目标

以问题为诱导，结合《几何画板》进行动态演示，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化。

3.

情感态度价值感目标

通过动点轨迹的引入和参数的变化，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值。

三、学生学情分析

本节课是学生在学习了2.1.1“椭圆及其标准方程”后进行的。学生在学习椭圆的标准方程的过程中，就已初步掌握了求动点的轨迹方程的基本步骤，理解了椭圆的定义和简单几何性质。本节课通过课本P43 B组第2题的引入，让学生探讨：若一个动点与定点的距离与它到定直线的距离之比是一个小于1的常数，这样的点的轨迹会是什么？老师通过《几何画板》追踪动点的轨迹，让学生去观察这个轨迹。在进行轨迹方程推导的过程中，学生通过化简方程，去探讨这个“小

第

1 页

共

5 页

于1的常数”到底是什么，从而得出离心率的几何意义。根据本节课的教学内容和学生实际水平，这堂课采用“问题导学”、“引导发现”、“小组探讨”的教学模式，通过教师课堂演示，学生相互讨论，引导和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，使学生逐步掌握椭圆的第二定义和离心率的几何意义。

四、教学策略分析

教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多媒体技术，以“形”为诱导，以《几何画板》为探究载体，以培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及数形结合思想为重点的教学思想。

五、教学过程设计

（一）知识回顾

复习椭圆的定义及简单几何性质。

31．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭5圆于A、B两点，则ABF2的周长为

20

；

2．讲评课本P43 B组第2题：

点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线x8的距离之比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

由椭圆的定义可知，到两点定点F1、F2的距离之和为常数2a(2aF1F2)的点的轨迹是椭圆。而从上题我们发现可以从另一种方式得到点的轨迹：椭圆。

（二）探索新知

1.

用《几何画板》探究动点M的轨迹

探究1：F是定点，l是不经过点F的定直线，动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离的比e是小于1的常数，观察动点M的轨迹；

探究2：在0e1的范围内，改变e的大小，或改变点F与直线l的相对位置（在x轴正半轴、负半轴或在y轴正半轴、负半轴）观察动点M的轨迹变化。

2.

椭圆的第二定义

若点M(x,y)与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e（0e1），则点M的轨迹是一个椭圆。

定点F叫焦点，定直线

l

叫准线。

第

2 页

共

5 页

x2y2设椭圆221上任一点M(x,y)，焦点坐标为F(c,0)(c0)。

ab问题1：你能否将椭圆上一点M(x,y)到焦点F(c,0)(c0)的距离表示成点M横坐标x的函数？

|MF|(xc)2y2解：x2y2代入消去y2得：

221bacca2a2b22c2|e|x|

|MF|x2cxcb2x(xa)|xa||xaaccaa222问题2：你能推导出对应焦点F(c,0)(c0)的准线方程吗？

a2a2a2表示点M(x,y)到定直线x的距离，故准线方程为x。

xccc推广：

a2x2y2（1）对于椭圆221，相应于右焦点F(c,0)的是右准线，方程是x，

caba2根据对称性，相应于左焦点F(c,0)的是左准线，方程为x；

cy2x2a2（2）对于椭圆221的准线程是y。

cab问题3：点M到焦点的距离和它到对应准线的距离之比的常数e是什么？

MFd(xc)2y2a2xca2exca2xcc

ae3.

离心率的几何意义：椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比。

（三）应用举例

x2y21的右焦点和右准线；左焦点和左准线；

例1、求椭圆2516

第

3 页

共

5 页

x2y21上的点M到左准线的距离是2.5，求M到右焦点的距离；例2、椭圆

2516解一：记椭圆的左右焦点分别为F1,F2到左右准线的距离分别为d1,d2。

由椭圆的第二定义可知：故|MF|e

d|MF1|3c3|MF1|1.5

e

|MF1|ed12.51.5

5d1a5又由椭的第一定义可知：|MF1||MF2|2a10|MF2|8.5

另解：点M到左准线的距离是2.5，所以点M到右准线的距离为

a25058522.5

c326|MF2|385e|MF2|ed28.5

d256学生小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用。

x2y21的上任意一点，F1、F2分别为左右焦点；

例3、已知点M为椭圆25165椭圆内有一点A(1,2)，求|MA||MF1|的最小值。

35分析：应如何把|MF1|表示出来？

3a225，作MDl1于点D，记d|MD|

解：左准线l1：xc3由第二定义可知：|MF1|35c3e

⇒

|MF1|d

⇒

d|MF1|

53da55故有|MA||MF1||MA|d|MA||MD|

3所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1528即|MA||MF1|的最小值是

3325

3

课堂小结

1、椭圆的第一定义和第二定义、准线方程；

第

4 页

共

5 页

2、椭圆离心率的几何意义。

（四）课后练习

x2y21内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，求1、若椭圆43使MP2MF的值最小的点M的坐标；

2、设AB是过椭圆右焦点的弦，求以AB为直径的圆与椭圆的右准线的位置关系；

x2y23、设Px0,y0是椭圆221(ab0)上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右ab焦点，e为椭圆的离心率。

（1）求证：PF1aex0,PF2aex0；

（2）求PF1的最大、最小值。

（五）板书设计

信息技术应用

用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆

1.

椭圆的第二定义

2.

准线方程

3.

离心率的几何意义

例1

例2

例3

第

5 页

共

5 页