习题2.4特级教师教学实录

《一道课本练习题的探究》教学设计

广州市花都区圆玄中学

曾子斌

《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标，本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对授课内容加以巩固理解，在生生、师生交流的过程中，体现对学生更多的关心。

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。

建构主义学习理论认为，建构就是认知结构的组建，其过程一般是引导学生从身边的、生活中的实际问题出发，发现问题，思考如何解决问题，进而联系所学的旧知识，首先明确问题的实质，然后总结出新知识的有关概念和规律，形成知识点，把知识点按照逻辑线索和内在联系，串成知识线，再由若干条知识线形成知识面，最后由知识面按照其内容、性质、作用、因果等关系组成综合的知识体。也就是以学生为主体，强调学生对知识的主动探索、主动发现以及学生对所学知识意义的主动建构。

现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在教学过程中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会解决问题的一般规律。

基于以上理论，本节课的设计遵循引导发现，循序渐进的思路，采用问题探究式教学，运用微课、geogebra动态数学软件和POWERPOINT课件，投影仪辅助，倡导“自主、合作、探究”的学习方式；以培养学生的观察、类比、计算、归纳、推理等数学能力为核心和培养学生主动学习的习惯及实事求是的学习态度，充分调动学生学习的积极性，主动性和创造性，使学生以独立思考，自主探究，动手实践，合作交流等方式积极参与到学习中来，重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。正所谓磨刀不误砍柴工，针对本节课的教学内容，对课本习题、例题与高考题，做了一次加工整合，注重主体性教学，借助信息技术，对一道课本练习题进行探究。

一、教学内容分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学2·选修2-3（人教A版）》第二章2.4.2抛物线的简单几何性质第73页习题6，它属于解题课型也属于数学规则课型。直线与抛物线的位置关系的知识是高中数学重要内容之一，也是高考常考点。本节课是学生在学习直线与圆、椭圆及双曲线的方程之后，对数形结合、类比、归纳、化归等思想方法有了一定的体验，已获得一定的探究方法的基础上的进一步的定性分析，定量研究，而解决问题的主要方法是坐标法。坐标法是解析几何中最基本的研究方法，不仅是定量判断直线与抛物线的位置关系的方法，同时也是培养同学们的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容。在直线与抛

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物线的位置关系的判断方法的建立过程中蕴涵着诸多的数学思想方法，这对于进一步探索、研究后续内容有很强的启发与示范作用。

二、学生学情分析

我校是省一级达标学校，有优越的多媒体设备。我所教班级是理科重点班，学生的数学基础较好，学习积极性较高，领悟能力较好，有强烈的求知欲，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备一定的分析、观察、较强的抽象思维能力和演绎推理能力。学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。在此之前，学生已经熟练掌握二次函数图象、直线与椭圆的位置关系、直线与双曲线的位置关系、抛物线与求轨迹方程等内容，可以探究直线与抛物线的位置关系。因此，学生已具备了探究课本习题的认知基础，故在授课时注重从具体的实例出发，引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，教会学生独立思考、大胆探索、合作交流和灵活运用类比、数形结合、归纳等数学思想的学习方法，从而促进思维能力的进一步发展。

三、教学任务分析

《新课程标准》指出：在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。按照其要求，本节课的学习主要作为程序性知识来学习。

教和学的矛盾是贯穿教学过程始终的基本矛盾，学是中心，会学是目的。高二学生对解析几何有浓厚的兴趣，但学习主动性有待调动，在教学中要指导学生学会学习，引导学生在问题情境中探索研究，主动地寻找解决问题的思路和方法，在探究的过程中实现自己对新知识体系的构建，在掌握新知识和技能的同时形成自己的学习方法。教是为了不教，注重培养学生良好的数学素养。

学生在前面已经学习了直线与圆、椭圆及抛物线的位置关系，并掌握了相关的解题方法，本节课要求学生通过对直线和抛物线的位置关系的定量与定性的探究，让学生经历知识的应用与拓展过程，归纳解决问题的思想方法，提高分析和解决问题的能力，体验成功的喜悦，增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。

四、教法学法分析

教学理念：只要你有1﹪的希望，我将尽100﹪的努力，助你成才！

教学原则：百花齐放

教学方法：问题探究式

本节课为解题课，为1课时，通过运用微课、geogebra动态数学软件和POWERPOINT课件，利用投影仪辅助教学，同时采用诱导思维法，这种方法有利于学生对知识进行主动建构，有利于突出重点，突破难点，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；采用分组讨论法，有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性；采用讲练结合法，可以及时巩固所学内容，有利提高学生的知识应用水平学以致用，加深对知识与方法的理解，抓住重点，突破难点。故可激发学生的学习热情，启迪学生的思维，感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。整个教学过程，教师应注意少讲，给学生充分活动的时间与空间，让学生互相评价，总结解题经验。教师应尊重学生的思维过程，重点放在解法的归纳是否得到落实。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，

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得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。即在探究的基础上，组织学生研讨自己在探究中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对直线与抛物线的位置关系的认识从感性认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。

这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研”的研讨式学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。也只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有所“得”，“练”有所“获”。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣；也只有这样做，才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要。在引导分析时，留出“空白”，激发学生联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，引导他们运用已有的知识经验，利用合情推理来自行获取新知识。通过个别回答，集体修正的方法让我及时得到反馈信息。最后，我将根据学生回答问题的情况进行小结，概括出问题的正确答案，并指出学生解题方法的优缺点，也把思路方法和需要解决的问题弄清。让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。

培养学生分析问题的能力时，在小组讨论中提高组长的组织与归纳组内成员想法的能力。对所得结论进行更深入一步的探究，激发学生的学习兴趣。作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。本节课的教学要体现课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以提出问题、探讨问题、解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。

五、教学目标分析

1、知识与技能：通过运用微课、geogebra动态数学软件和POWERPOINT课件，投影仪辅助，对直线与抛物线的位置关系有关交点坐标所满足的条件的问题进行探索，掌握解法的多样性、结论的一般性和应用性及其解决方法；引导学生通过观察，实验，类比，猜想，证明，由特殊到一般归纳出有关结论，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生的类比、分析、归纳、应用的思维能力和合作交流能力。

2、过程与方法：从已有的知识出发，通过对问题的不断引申、精心设问，引导学生体验合作学习并品尝分享获得知识的快乐，体验数学知识发现和创造的历程，培养思维的深刻性、创造性、科学性和批判性；在学习过程中培养学生主动、积极探究的意识、发展学生的创新意识，用练习去巩固所学知识，使学生逐步形成良好的知识结构。

3、情感态度与价值观：营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学，通过生生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境，亲身体验数学规律的发现。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，体会数学的简捷美、和谐美。借助信息技术辅助教学,激发学习数学的兴趣，在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观，培养学生勇于探索、善于发现和不畏艰辛的精神。

六、教学重点难点分析

教学重点：通过生生、师生互动交流，共同完成对直线与抛物线的位置关系的有关交点坐标所满足的条件的问题的探究；借助信息技术，探索课本练习题解法的多样性与结论的一般性，增加学生的直观体验，深化认识，突出重点。

教学难点：对直线与抛物线的位置关系的有关交点坐标所满足的条件的习题，运用得到的结论，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。

七、教学基本流程图

本节课具体流程如下：

课堂热身（创设情景、引入实例）→课题探究（探索解法的多样性→突出重点）→习得

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新知（探索结论的一般性→突出重点）→变式应用（探索结论应用性→突破难点）→课堂小结（合作归纳）→课外作业（巩固提升）。

八、教学过程设计

（一）课堂热身（4min）

1.【湖南省益阳市2018届5月统考】已知直线l经过抛物线y24x的焦点且与此抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，AB8.直线l与抛物线yx24的交点M,N在y轴两侧。

（1）证明：y1y2为定值；（2）求直线l的斜率的取值范围。

（1）证明：由题意可得，直线l的斜率存在，故可设l的方程为yk(x1),(k0).

y24x4k4为定值。

联立得ky24y4k0，则y1y2kyk(x1),yy244222，

，x1x21kkkyy242248,即k21. 则ABx1x2p1kk（2）解：由（1）知，y1y2yx24联立得x2kxk40,M,N，两点在y轴的两侧，

yk(x1),k24(k4)k24k160,k40,即k4. 2由k1及k4可得k1或1k4，

故直线l的斜率的取值范围为,1(1,4). 【点睛】本题主要考查抛物线的性质和有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，属于中档题。本题所涉及的具体操作方法：联立方程组根据韦达定理与设而不求等方法进行解题，解不等式时需注意M,N两点在y轴的两侧。

【师生活动】老师布置课前练习，学生及时复习与完成；课堂上校对答案，演示解答过程，为本节课做铺垫。

【设计意图】以微课形式进行教学，创设情景，引发学生的好奇心，激活原有知识，通过复习相关知识与方法，为导学做准备。利用geogebra动态数学软件辅助教学，激发学生的学习热情，启迪学生的思维，让学生直观感悟直线与抛物线的位置关系，建立所学知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区。并对知识和方法进行梳理，使学生有“操作规范”，培养归纳总结能力和逻辑思维。

（二）课题探究(10min) 例：如图1，直线l:yx2与抛物线y2x相交于A、B两点，求证：OAOB. 2

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【分析】本题选自高中数学人教版选修2-1第73页习题6，考察了直线与抛物线的位置关系，可以通过利用斜率，数量积，或勾股定理的逆定理证明直线垂直。现进行以下探究：

（Ⅰ）探索解法的多样性

y22x解法1

直接联立直线与抛物线方程得到交于A、B两点坐标，再根据OA、yx2OB斜率乘积为1，即可得出OAOB，或根据数量积公式计算OAOB为0，即可。

解法2

（设而不求）设A(x1,y1),B(x2,y2)，

y22x联立方程组，消去x得

y22y40，

yx2则y1,y2为上述方程的根，则y1y24，y1y22，

再由OAOBx1x2y1y2(2y1)(2y2)y1y2即得结论。

2y12y2解法3 A(,y1)，B(,y2)，由于点C(2,0)在直线上，

2222y124y24y124y24,y1)，CB(,y2)，y2y1，则CA(共线得化简得y1y24. 22220，

再利用斜率或数量积即可得出结论：kOAkOBy1y2y1y21.

x1x24【点睛】垂直问题的证明途径主要有：利用斜率，利用数量积，或利用勾股定理的逆定理；

本题所涉及的具体操作方法：联立方程组求点的坐标或根据韦达定理或通过巧设点的坐标或设而不求方法进行解答。

【师生活动】老师巡视指导，学生自主独立解答；师生共同探索解法，并对主动发言的同学，给予肯定表扬；通过课件演示解析，进行知识和方法的完善。

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【设计意图】一题多解，可以开阔学生思路，发散学生思维，使学生学会多角度分析和解决问题，有助于培养学生的运用能力和快而准的计算能力。通过不同方法可体验各自的优越性和其中蕴含的思想方法。

（三）习得新知(16min) （Ⅱ）探索结论的一般性

还有没有其他直线l与抛物线相交于A、B两点，也有OAOB呢？如果有，请再写出几条，并指出这些直线的共同特点。如果没有，请说明理由？

不难发现，这些直线都经过定点(2,0)，于是可以猜想：

【师生活动】老师提问，演示动态图，学生观察、大胆猜测，得出结论，老师给予大力表扬。

【设计意图】通过归纳解法3，并借助geogebra动态数学软件演示，形象并快而准地得出直线束的共同特点：随着交点A,B的移动，都经过定点(2,0)。培养学生的观察、比较和触类旁通的能力。

结论1 直线l与抛物线y22x相交于A、B两点，若l过定点(2,0)，则OAOB.

【解析】直接设直线AB的方程yk(x2)（有斜率时），没有斜率，先要考虑特殊情况y22xx2，显然OAOB，，消哪个变量简洁？

yk(x2)（方法一）k2x22(2k21)x4k20，x1x24，x1x24

OAOBx1x2y1y2x1x2k2(x12)(x22)2(方法二)消去变量x有y0. 2y40，y1y24，

k2y12y2y1y20即可。

再根据OAOBx1x2y1y24【点睛】注意易错点：忘记考虑斜率不存在这种特殊情况，大胆自信地从不同角度进行消元化简，可殊途同归。

【师生活动】老师巡视指导，学生自主独立解答；对完成较好者，给予肯定表扬；借助投影仪演示学生的解答过程，对相关知识和方法进行理解与巩固。

【设计意图】巩固所学知识与方法，使学生由习得的陈述性形式向程序性形式转化，也使学生有章可循，大胆猜出相关结论并能够证明，培养学生的猜测、归纳、严谨计算、运用和巩固能力。

另外，还可以设直线AB的方程为xmy2（在x轴上的截距为2，且直线的斜率不能为0），同理可证。

【师生活动】师生共同探讨另外设直线方程的形式，学生积极并自信得到直线方程xmy2，依法可证。

【设计意图】通过启发，设不同形式的直线方程，引导学生领悟解题过程的不同，感受异曲同工之妙，培养学生的观察、应变、计算和运用能力。

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若将抛物线方程一般化，换成y22px，有什么结论呢？

类比上面结论，容易发现以下结论：

结论2

直线l与抛物线y22px相交于A、B两点，若直线l过定点(2p,0)，则：OAOB. 【师生活动】老师启发学生思考、探讨，学生有章可循，大胆、积极回答结果，老师进行鼓励与肯定。

【设计意图】将问题情景化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自主学习真正成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成高潮，使学生在问题的解决中不断的学习。

结论3

直线l与抛物线y22px相交于A、B两点（非原点），若OAOB，则直线l过定点(2p,0).

结论4

直线l与抛物线y22px相交于A、B两点（非原点），则OAOB等价于直线l过定点(2p,0). 结论5

直线l与抛物线x22py相交于A、B两点（非原点），则OAOB等价于直线l过定点(0,2p). 结论6

直线l与抛物线x22py相交于A、B两点（非原点），则OAOB等价于直线l过定点(0,2p). 【师生活动】对每个结论的结果的“留出空白”，学生通过个人独立思考、小组合作学习与解决后，老师提问，由小组代表回答，并给予学生大力肯定。

【设计意图】结合具体的问题，学生分组对“留出空白”进行探究，变式多问，并从特殊推广到一般，具有探究性、深刻性、启发性和开放性，鼓励学生大胆表达自己的看法，坚信“跳跳”就能摘到“桃子”。促进知识向技能转化的基本策略，有助于知识的迁移，培养学生的应变和举一反三的能力，同时养成良好的思维习惯，即看到新问题思考时，要从已学过的知识和方法中找突破口，激发学生的创新思维；体验数形结合、类比与等价转换思想的意义和价值，培养学生合作交流的学习习惯。

还可向椭圆、双曲线推广，大家可以继续研究。

【师生活动】师生共同小结上述结论后，老师启发引导结论的延伸性，学生可以课后思考与实践。

【设计意图】引导学生积极思维，融会贯通，循循善诱，发展学生的思维能力。以启发探究的方式体会结论的延伸性，培养学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

（四）变式应用(8min)

（Ⅲ）探索应用性

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（北京春季高考题）已知抛物线y24px(p0)，O为顶点，A、B为抛物线上两动点，且满足OAOB，如果OMAB于M，求点M的轨迹方程。

Q O B

M x y A 【解析】直线AB过定点Q(4p,0)，则点M的轨迹是以OQ为直径的圆（不包括原点），方程为：x2y24px0(x0). 【点睛】结合探究的结论，探索出点M的轨迹是以OQ为直径的圆。

【师生活动】学生认真规范解答，老师巡视指导，借助投影仪展示学生的解答情况，师生共同批改、完善和改进解答过程，对相关知识和方法进行理解与巩固。

【设计意图】变式应用的目的是为了进一步明确用程序性知识办事的程序，也有助于学生在练习中不断取得成功，获得信心，从而进一步维持学习动机。借助geogebra动态数学软件进行教学，使学生直观感悟动态图与静态图的结合，对相关知识有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因直线与抛物线的位置关系的知识的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。

变式1（选修4-4第二讲参数方程·二圆锥曲线的参数方程·3.抛物线的参数方程·例3）

例3如图213，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y22pxp0上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于点M，求点M的轨迹方程。

图2-13

【解析】即xy2px0x0,这就是点

M的轨迹方程。22【点睛】与北京春季高考题进行比较，可很快得到解题思路。

【师生活动】老师启发学生观察两题的异同，学生找到定点与直角特征后，快而准地同理得到答案，老师给予表扬。

【设计意图】贯穿理论联系实际、学以致用的观点，及时肯定与鼓励学生，加强学生看图识图的能力，通过变式练习，学生理解巩固，教师巡视指导，规范解题步骤,并结合展台，投影有代表性的解答过程，完善步骤。教学时应渗透数形结合的思想方法，并为学生规范解答过程。

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本题还可以如何变式？

如：（1）求原点到直线AB的最大值。

（2）求证直线AB过定点。

（3）求线段AB中点轨迹。

（4）求三角形OAB面积的最小值。

【师生活动】根据图2-13，老师引导学生动脑，类比猜想，迅速得出上述问题。

【设计意图】通过变式和多问，鼓励学生大胆表达自己的看法，具有探究性、启发性、开放性和深刻性。促进知识向技能转化的基本策略，有助于知识的迁移，培养学生的应变和举一反三的能力，激发学生的创新思维。通过问题的设计，不但可以巩固所学知识，还可以让学生真正体会由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是化归思想的具体应用。

（五）课堂小结(2min)

1.通过对习题的探究，具体包括解法的多样性、结论的一般性以及应用方面，提高思维的深刻性。

2.领悟问题探究过程中，对数形结合、等价转换、化归等数学思想的综合应用。

3.对于高考常考题的解答，要注重通性通法。

【师生活动】老师启发引导，学生高效回顾并归纳，共同得出课堂小结。

【设计意图】归纳巩固所学知识与方法，以便调控教学，查缺补漏，采取组织策略帮助学生加强记忆和理解。培养学生归纳概括能力，培养学生及时总结知识和方法的“再回首”意识，培养学生养成“堂堂清”的学习习惯。

（六）课外作业(15s)

1．【2018年文北京卷】已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴，若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 【解析】根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点（1,2），将点（1,2）坐标代入可求参数α的值，进而可求焦点坐标。

解：由题意可得，点P(1,2)在抛物线上，将P(1,2)代入y24ax中，解得：a1,y24x,

由抛物线方程可得：2p4,p2,p1，故得抛物线的焦点坐标为（1,0）. 2

【点睛】此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的

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关键。

2．【2018年全国卷Ⅲ文】已知点M(-1,1)和抛物线C:

y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若AMB90，则k=________． 【解析】利用点差法进行计算即可。

解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2y14x12y24x2，22所以y1y24x14x2,所以ky1y24.

x1x2y1y2取AB中点M'(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1的垂线，垂足分别为A',B'，

'∵AMB90,MM111AB(AFBF)(AA'BB')，

222'因为M为AB中点，所以MM平行于x轴。'因为M(-1,1)，所以y01,则y1y22,即k2.

故答案为2。

【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系和抛物线的性质，设A(x1,y1),B(x2,y2)，利用点差法得到ky1y24.取AB中点M'(x0,y0),分别过点A,B作准线x=-1x1x2y1y21(AA'BB')，进而得到斜2'的垂线，垂足分别为A',B'，由抛物线的性质得到MM率。

3．【2018年理数全国卷II】设抛物线C:y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点，AB8.

（1）求直线l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程。

【解析】（1）根据抛物线定义得ABx1x2p,再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线l的方程；（2）先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程。

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解：（1）由题意得F(1,0),l的方程为yk(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2)．

由yk(x1)y24x2k24得kx(2k4)xk0.16k160,故x1x2.

2k222224k24所以ABAFBF(x11)(x21).

2k4k24由题设知8,，解得k-1(舍去)，k1.

k2因此，直线l的方程为yx-1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y-2-(x-3),即y-x5.

y0x05.解得2设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则2(y0x01)(x01)216x03y02或x011y06.

2因此所求圆的方程为(x-3)2(y2)216或（x11）(y6)2144.

【点睛】1.联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式，可得直线方程。

2.确定圆的方程方法：

(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。

(2)待定系数法：①若已知条件与圆心出关于的方程组，从而求出和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值。

4．【河南省洛阳市2018届三模】已知抛物线C:yx2，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为13,,抛物线C上的点P在A，B之间（不包括点A，点B），过点B作直线AP22的垂线，垂足为Q. （1）求直线AP斜率k的取值范围； （2）求PAPQ的最大值。

【解析】（1）设P(xp,x2（2）根p),得出k关于xp的函数，根据xp的范围得出k的范围；据AP，BQ的方程得出Q点坐标，根据距离公式计算PA,PQ,得出PAPQ关于k的函数，

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再根据函数单调性得出最大值．

解：（1）由题可知A(

113913,),B(,),设P(xp,x2xp.

p),24242214x1(1,1),故直线AP斜率k的取值范围是（-1,1）所以k.

p12xp21193(2)直线AP:ykxk,直线BQ:xkyk0,

2442-x2p34kk2联立直线AP,BQ方程可知点Q的横坐标为xQ,

22k234kk21(k1)2(1k)PQ1k(xQxP)1k(k).

2222k21k221PA1k2(xP)1k2(1k),

2所以PAPQ(1k)3(1k),令f(x)(1x)3(1x),1x1,则

2f'(x)（1-x）(24x)2(1x)2(2x1),

11当-1x-时,f'(x)0,当-x1时，f'(x)0,

2211故f(x)在(-1,-)上单调递增，在(-,1)上单调递减。

2212727,，即PAPQ的最大值为.

故f(x)maxf()21616【点睛】本题考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系，考查弦长公式与距离公式的应用，属于中档题。

【师生活动】根据考纲要求，老师针对性地布置作业，学生上交作业后，对部分学生的答题情况，需面批面改面谈，进一步落实课堂效果。

【设计意图】巩固所学知识与方法，进一步加深理解，培养学生温故而知新的意识，发现和弥补教学中的不足，强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度，可以促进知识的近迁移和远迁移。做到真正落实“以学生的发展为本”的教学核心。通过针对性、代表性的习题，减轻学生负担，让学生远离“题海战术”，用有限的时间，发挥最大效益。

九、板书设计

通过运用微课、geogebra动态数学软件和

POWERPOINT课件，投影仪辅助，依次展示与探究以下流程：

1.课堂热身

2.课题探究

3.习得新知

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4.变式应用

5.课堂小结

6.课外作业

【设计意图】体现出教学的思维导图，使得整个教学流程清晰，目标明确，有助于把握每个教学环节。

十、教学反思

对于数学教师来说，要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学内容的反思应当从逻辑性、辨证性等方面去展开。师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。

本节课既是一节解题课又是一节探究课。整个教学过程，以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学思想方法的溶入渗透。为此，本节课在教学中特别注重以下几个方面：（1）重视学生的学习体验,突出他们的主体地位。训练了他们用从特殊到一般,再由一般到特殊的思维方式解决问题的能力，不断加强他们的化归、类比思想。（2）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学***，养成正确的学习态度和习惯。（3）注重生生之间、师生之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高。在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生能自觉运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

本节课用不同的活动环节涵盖整个教学过程，各环节连接流畅，设计理念务实、新颖。教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求，如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的有效性：其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，其五，关注学生，及时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性，其七，切实重视基础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的发展。

本课通过运用微课、geogebra动态数学软件和POWERPOINT课件，投影仪辅助，利用习题的探究及其引申,通过一题多解、一题多变、一题多问，层层深入的探索，以及对猜测结果的检测研究，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性、批判性，使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法,领略数学的统一美。使用“探究—合作”式教学模式进行教学，使学生们的“知识的获得过程”不再是简单的“师传生受”，而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的加以建构；在这个建构过程中，学生应是教师主导下的主体，是知识的主动建构者。所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问，都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”。本课借助信息技术进行教学，可以动态地演示出直线与抛物线的位置关系的动态过程，让学生直观观察有关交点坐标所满足的条件对具体位置的影响；

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可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。信息技术的介入，使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂，同时，运用信息技术辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，在有限的时间内应突出重点，突破难点，这充分显示出信息技术与探究合作式教学模式的有机结合的教学优势。

按照这样的教学设计，将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造最佳的教学氛围，既尊重了学生的主体地位，又发挥了教师的主导作用，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。课后，我将从目标达成情况，学生提出的新问题，学生存在的疑问等方面进行归纳总结，及时调整和完善，为以后的教学做准备。

以上就是我对本节课的理解和设计。

敬请各位专家、同行批评指正！

谢谢！

十一、教学点评（本节课是区观摩课，现将部分专家与教师的点评转载如下）

老师1：本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注重学生的主动探索、思考及师生互动；教学目标的设计定位准确，教学重点、难点明确。本节课蕴涵着数形结合、化归等多种思想，设计中注重对学生进行思想方法的训练，通过一题多解、一题多变、一题多问，渗透了数形结合、联系与转化的思想，使学生学会思考、掌握方法，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。本节课采用了问题探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“课本一道习题的探究”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，通过教师适时的引导，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦；在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。做到了“用教材教，而不是教教材”。

老师2：本节课采用积极主动、勇于探索和合作探究式的学习方式，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“六大数学核心素养”，强调数学的内在本质，注意适度形式化；注重信息技术与数学课程的合理整合。采用教师引导——学生探索相结合的教学方法，注重提高学生的提出问题、分析问题和解决问题的能力，让学生经历直观感知、观察发现、抽象与概括、符号表示、运算求解、数据处理、反思与建构等思维过程。纵观本节的整体设计，内容安排简洁精致有层次，教法选择合理丰富有重点，过程设计紧凑有序可操作。解题过程中也起到了温故转化思想的作用，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中。故本节课是节好课。

老师3：本节课是一堂名副其实的观摩课，“以学生发展为本”的重要指导思想在这里得到了良好体现。根据本节课内容与高二学生认知特点，采用了“启发探索、讲练结合”的方法组织教学。使学生进一步加深对数形结合思想的理解，拓展思维空间。通过学生积极参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。特别是对“课题探究”中采用一题多解、一题多变，一题多问的探究式教学，使学生学会思考、掌握方法，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。学生的主体地位得到了较好的体现，既加深了对知识的透彻理解，又培养了学生研究问题的科学方法，这是引导探究式教学法优势所在。并且利用信息技术进行教学，使学生体会到学数学的乐趣。

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老师4：本节课是一节优课，教学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积极主动，勇于探索的学习方式”，值得学习。具体体现在本节课为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，充分展示学生的主体地位，给学生提供各种参与机会，教学中引导学生从实例出发，对直线与抛物线的位置关系的有关知识和解法温故而知新。在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动，学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。适当运用多媒体辅助教学手段，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出有关结论和方法，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

老师5：本节课教学效果不错，主要利用实例和一道习题的探究，通过一题多解、一题多变、一题多问，层层深入地探索，强化对直线与抛物线的位置关系的理解。本节课的选题具有明显的层次性，由浅入深，所设计的问题以及引导学生进行探究过程的发问，都力求做到“把问题定位在学生认知的最近发展区”。曾老师把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，借助信息技术，使得学习内容直观、生动，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。通过对问题的引申、变化，将对问题的讨论层层引向深入，重点突出、分析到位，基本实现了预期目标。使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。让学生在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开，教师做到了“授之以渔”而非“授之以鱼”。在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉的运用这些数学思想方法去分析、思考问题。曾老师在教学设计中，让人印象深刻的是以学生为主体，注重学法指导，重视新旧知识的契合，关注知识的类比，学习方法的迁移。设计中将学生进行分组，通过学生的自主探究、合作学习，侧重对解法的多样性、结论的一般性与应用性进行探索。老师借助信息技术进行授课，以形助数，以数定形，数形结合的方法，收到了较好的研究效果。在此过程中，学生对直线与位置关系的认识不断深化，而且思维深刻性、创造性、科学性、批判性等良好品质得到了很好的训练，分析问题、解决问题的能力大大提高。

老师6：本节课是节好课，在解题课的教学中值得推广。本节课教学方式的选择合理、高效，符合新课程理念。设计的问题强调了基础性、探究性、层次性。这种“探究—合作”式教学模式，使学生在“知识的获得过程”上不再是简单的“师传生受”,而是让学生依据自己已有的知识和经验主动的主动建构，实现了教师主导下的主体建构。这节课还能充分显示出信息技术与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势，借助信息技术，全体学生参与空间增大；难以理解的抽象的数学理论变得形象、生动且通俗易懂，学生拥有更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥主体作用。尤其课题探究的3个方面是本节课亮点，例题与问题设计精巧，层层递进，由此引发了学生积极的思考、探索与交流，体现了数形结合的思想方法。设计中体现了师生主动参与和体验的有机结合，激发了学生探索新知的兴趣，重点突出，容量适中，由浅入深，环环相扣。整个教学过程教师侧重指导、点评，充分展示知识发生、发展的过程，由学生自主建构，在此过程中获得对知识的亲身体验，把教学的主动权给了学生，鼓励学生自主探索、研究性学习，使学生成为真正意义上的学习主人。

老师7：本节课既是一堂解题课又是一堂探究课，如何在数学课堂教学中体现新课程理念，本课例进行了有益的探索。目标的制订具体、适宜，且明确地体现在每一教学环节中，

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教学思路设计符合教学内容实际和学生实际，层次脉络清晰。整个教学设计过程，以问题为出发点，以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激发了学生的学习动机；重视思维训练，注意数学思想方法的溶入渗透。本节课采用

“课堂热身→课题探究→习得新知→变式应用→课堂小结→课外作业”的教学流程。曾老师在课题引入时，以实例为背景，以学生感觉较简单的问题入手，有效地激发学生学习的欲望和探究的兴趣。采用探究教学方式，在师生共同探究的过程中，构建新的知识，既让学生了解数学概念和结论产生的过程，同时也培养了学生独立思考和勇于质疑的品质。此外，曾老师在本课例的设计中，能很好地将现代信息技术与数学课程进行有机的整合，使“方法建构、技术运用、思想渗透”三者同步发展，利用类比的思想，小组合作的形式，通过geogebra动态数学软件主动探索出结论的一般性。教学实践表明：当学生对直线与抛物线的位置关系有了感性认识后，得到这些结论必然水到渠成。曾老师对书写规范等做了要求，有利于学生规范解题，培养学生严谨的思维品质。高中新课程在教学方面所倡导的新的教学理念，对于促进课堂教学中学生学习方式的变革起到了巨大作用，教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。本节课确实是节好课。

老师8：本节课以问题设计为导向，以知识为载体，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力；本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究。引导学生积极思维，循循善诱，发展学生的思维能力。教学目标的设计定位准确，教学重点、难点明确。教学设计注重引导学生用特殊到一般的方法探究课本练习题的结论，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性，启发学生思考、实验、分析、归纳，注重探究的过程与方法。同时借助信息技术辅助教学，增强学生的直观感受。教给学生方法比教给学生知识更重要。在这里，教师成为课堂教学的组织者与学生学习的促进者，而学生成为学习的主人，学会了学习，学到了“对比联系”、“数形结合”及“化归”的思想方法。

另外，教学情景的设置、教学例题的选用，以及信息技术来动态演示，都令人耳目一新，体现了教师的良好的素养及丰厚的学科功底。将问题情境化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自主学习真正成为可能。新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多元性，这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成几个高潮，使学生在问题的解决中不断的学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力的提高离不开解题，“解题策略的掌握，思想方法的运用，并不在于教师讲了多少，而是在于学生通过自己的认识活动体验、感悟了多少。”本节课的授课蕴含着重要的数学思维方法和思想精髓，具有典型性和示范性。不为解题而解题，为的是通过解题，让学生感悟和体验数学的理性精神，在潜移默化中渗透数学思想。这节课非常优秀，值得推广。

十二、参考文献

1.普通高中数学课程标准（2017年版），人民教育出版社，2017.12 2.章建跃，数学课堂教学设计研究，数学通报，2006.7. 3.谭国华，高中数学教学设计的理论与实践，人民教育出版社，2012.10 4.皮连生，《智育心理学》，人民教育出版社，2008.12. 5.皮连生，《学与教的心理学》，华东师范大学出版社，2015.7.

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