3.1.3 空间向量的数量积运算教案（名师）

备课

课题

施丽芬

授课时间

2018.4.10 §3.1.2

空间向量的数乘运算

知识与技能

掌握空间向量的数乘运算

教

学

目

标

会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

过程与方法

培养学生严谨的思维和科学正确的推理能力，会用平面的向量表达式解决共面问题

情感态度价值观

重点

难点

会用平面的向量表达式解决共面问题

用向量解决立几问题

教学内容

温故知新，揭示课题

1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的||倍

（1）当0时，a与a同向

（2）当0时，a与a反向

教学环节与活动设计

教

学

设

计

2、空间向量的数乘分配律和结合律

（1）分配律：(ab)ab

（2）结合律：(a)()a

3、共线向量或平形向量

类似于平面向量共线，对空间任意两个向量a,b(b0)，a//b的充要条件是存在实数，使ab

教学内容

1、方向向量

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

aBlAP教学环节与活动设计

OPOAta．其中向

量a叫做直线l的方向向量. O在l上取ABa，则上式可化为OPOAtAB

证明：对于空间内任意一点O，A,B,P三点共线

tR,使APtAB

教

学

设

计

OP-OAtAB

OPOAtAB

由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。

回顾平面向量的基本定理：

共面向量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y)，使得这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,bpxyb，线性表示。

由此可以得到空间向量共面的证明方法

OPOAxAByAC

教学内容

2、空间平面ABC的向量表示式

空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：APxAByAC，或对空间任意一点O有：

PCp

bAaB

O

推论：已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，则点P与点A，B，C共面的充要条件是

教学环节与活动设计

教

OPxOAyOBzOC(其中xyz1)

学

证明：

OPxOAyOBzOC(xyz1)

设

OP(1yz)OAyOBzOC

计

OPOAyOAzOAyOBzOC

APyABzAC



P与点A，B，C共面

例1．一直平行四边形ABCD，过平面AC外一点O做射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使

本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。

OEOFOGOHk，

OAOBOCOD求证：E，F，G，H四点共面

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。

证明：因为OEOFOGOHk，所以

OAOBOCODOEkOA，OFkOB，OGkOC，OHkOD，由于四边形ABCD是平行四边形，所以ACABAD，因此，EGOGOE

kOCkOAkACk(ABAD)

k(OBOAODOA)OFOEOHOE

EFEH

由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面

请学生思考如何证明：面AC//面EG

1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。

（1）ABBCCD

（2）AB

1(BDBC)

21(ABAC)

2（3）AF

教

1．空间向量的数乘运算

学

2．空间向量的运算意义和运算律解决立几问题

小

3．平面的向量表达式解决共面问题

结

课后

作业

课本教材第96页习题3.1第1、2题