3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计

导数的几何意义

本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》（人民教育出版社、课程教材研究所A版教材）选修1－1中第§3．1．3节．

教学内容分析

1．导数的地位、作用

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2．本课内容剖析

在学习了变化率和导数概念之后，学生从数值计算的角度直观上认识了导数，本节课从运动的观点出发，对函数在某一点处的导数给出几何解释，加深了学生对导数概念的认识，为下一节导数的计算奠定了基础．

教学目标

【知识与技能目标】

（1）重新认识曲线的切线定义，理解导数的几何意义；

（2）可以借助导数几何意义，理解并诠释一些生活实际问题．

【过程与方法目标】

（1）

复习导数概念，提出问题；

（2）

通过分组实验，由学生亲自动手操作，用数值计算的方法来探究P7上的问题，发现割线PPn变化趋势，分析整理成结论；

（3）

借用高台跳水模型，利用导数的几何意义，来刻画运动员在t0，t1，t2时刻的运动状态和函数的变化情况，为下一节的利用导数研究函数单调性做好铺垫；

【情感态度价值观目标】

（1）

在计算割线PPn斜率过程当中，让学生人人动手，感受函数图像的切线“形成”过程，深刻体会逼近的数学思想；深入理解

“以直代曲”的近似替代的方法．

（2）

通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．

（3）

借助导数这一良好素材在量变到质变的转化过程当中力求让学生感受并形成近似与精确的统一，运动和静止的统一的哲学观．

教学重点

通过函数上某点处割线PPn不断逼近切线的过程的探究，发现导数的几何意义

教学难点

对割线斜率与平均变化率，切线斜率与瞬时变化率的理解，以及曲线的切线概念的生成，体会函数在某点处的导数值就是该点处的斜率，并能利用切线来研究曲线的性质．

教学过程设计

预计时间

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

1.复习导入开2门见山复习分导数概念的钟

生成

请同学们回忆如何计算函数f(x)在xx0处的导数值

步骤是：一差二比三极限

复习

回顾

fx(x)fx()y00（板书）

f'()xlimlim0x0x0xx那么这节课我们就共同来研究导数的几何意义。

导数的本质是平均变化率的极限 （1）那么对于函数fx，从x0到x0x的平均变化率是什么？（复习导数概念，引出新课课题

（1）步步启发，步步引导，制造认知冲突，激发学生学习兴趣

（2）从图形出发，对割线逼近切线过程有感性认识．

（3）培养学生科学精神，大胆做出假设，体验发现的乐趣．

（1）使学生通过技术平台体会逼近的数学思想

（2）应使学生将感性认识提炼升华为理性认识．

（3）在观察与分析过程中体f(xn)f(x0)）

xnx0观察

思考

辨析

概念生成

2.观察发现大胆假设

设计意图：让8学生观察割分线不断逼近钟

切线的过程，发现规律，大胆提出假设．

（2）上述变化率又有怎样的几何意义？

（割线PPn的斜率）

（3）当点Px（n1，2，3，4）沿着曲线fx(n,f(x))nn趋近于点Px割线PPn的变化趋势是什么？（割,fx00时，线趋近于一个确定的位置）

（4）那这个确定位置的直线PT可以称为？（点P处的切线）

（板书概念：当点Pn沿曲线趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线（强调点P处））

（5）在Pn沿着曲线fx靠近P 的过程中，Δx的变化趋势是什么？割线PPn的斜率的变化趋势怎样？（逼近切线斜率）

请大家大胆给出猜想，切线的斜率是什么？

我们共同进行一个实验来验证你的结论．

（1）实验与观察

（2）分析与表达

（3）总结与归纳

3.实验探究小心求证

设计意图：分组实验让学10生在信息技分术平台上，亲钟

自动手操作

从数值计算角度体会割线逼近切线的过程．

（1）请在图形计算器中，利用chords程序，做出yx2的图象

（2）分组实验，设置区间[1,4]取定步长为1，0.1,0.01,0.001计算割线斜率，观察割线变化情况，并填好实验表格．

（3）分析实验结果（实物投影仪）

（4）我们来共同验证一下（板书、对函数f(x)求f'(2)）

（4）从特殊到一般：函数fx在xx0处导数就是切线PT的斜率k（教师板书）

fx(x)fx(0)kf'(x)lim0．

0x0x

预计时间

教学内容

教师活动

学生活动

教学评价

会从特殊到一般数学思想

3 4.知识应用分学而习之设钟

计意图：知识的简单应用注重知识的迁移和再发现

25.理论升华分深化认识

钟

设计意图：有意识的让学生体会导数的工具性作用．

126. 小试牛刀

分游刃有余

钟

设计意图：让学生进一步学会用导数来研究曲线性质，体会导数的工具作用，并为研究导数与函数单调性做好铺垫．

例1：求曲线yx2+1在P（1,2）处的切线方程．

分析、计算

让学生活学活用，培养分析能力、应用意识

在点P的附近，PP2比PP1更接近

曲线f（x），PP3比PP2更接近曲线f（x），……．过点P的切线PT最贴近P附近的曲线

f（x）．因此，在点P的附近，曲线

f（x）可以用过点P的切线PT近似代替．

教师诱导学生观察，并下结论，教师强调，“以直代曲”的数学思想方法，是微积分学中的重要思想方法．

例2.（1）请大家思考对于跳水运动来说，我们可以用哪些物理量来描述？

（2）如图表示跳水运动过程中高度随时间变化的函数2h(t)4.9t6.51t0的图象．请描先由学生交流讨论后，由学生回述、比较运动员在t0，t1,t2时刻的瞬答，教时速度情况．

师归纳（3）瞬时速度其实就是h(t)在t0，t1,t2处的导数值，在t0，结论．

t1,t2附近曲线h(t)的变化情况就可以用其切线的变化情况

来描述，那请大家试描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况．

阅读课本P8例二解答

变式（1）：试描述并比较曲线h(t)在t3，t4时刻的增减，与增减快慢情况

（2）根据条件，画出函数图象在这点附近的大致形状：

对理论的深入挖掘，渗透以直代曲的数学思想

作图，进一步体会以直代曲的数学思想

提升学生相互交流，归纳总结的能力

f(1)5，f'(1)12分7.归纳总结回味悠长

请同学们及时回顾这节课，通过这节课的研究，

学生自主归纳注意培养学生课后

预计时间

教学内容

教师活动

学生活动

总结

教学评价

钟

设计意图：让学生整理反思课堂上的收获，形成自己的知识体系

18.作业布置分课堂延伸

钟

设计意图：让学生明白经过某点的切线与在某点处的区别和联系. 进一步探索在某点处的切线概念

当点Pn沿曲线逼近点P时，割线趋近于切线，割线斜率趋近

于切线斜率，同时也就是平均变化率趋近于瞬时变化率的过

程，分别从几何与代数两个角度刻画了求导数的过程．整个

过程当中体现了两种数学思想：逼近思想，以直代曲思想

必做：认真阅读课本P7-P9,完成学案

思考一：根据下列条件，分别画出函数图象在这点附近的大致形状：（1）f(

5)10，f'(5)15（2）f(，f'(10)2010)0

思考二：求过点B(3,5)且与抛物线yx相切的直线方程．

选做：思考三：x轴与yx是否相切，若是相切，你怎样解释呢？

3探究活动：请利用图形计算器chords程序研究f(x)xx及时反思的习惯，提高学生的参与意识

放飞思想，给学生进一步发展的空间，提出课题，让学生自主探究

23在点A处的切线斜率，并试求切线方程．

板书设计：

导数的几何意义

1．投

影

求过点A(1,1)且与曲线f(x)x2

相切的直线方程。f(xx)f()xy00kfx'()limlim0x0x0解：A为切点

xx

f1x1f

kf1limx0k为点(x0，

f(x0))处切线的斜率．

x2．曲线的切线的定义

(x)22x

limx0x当P割线PP（确定位置）PT， nP时，nlim(x2)则由点斜式可得：

x0PT叫做曲线在点P处的切线．

xy102

直线方程为23．数学思想方法：“以直代曲”思想方法．