1.4.3 含有一个量词的命题的否定教案评析

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

[学习目标]

1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的学习，能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识点一

全称命题的否定

全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0). 知识点二

特称命题的否定

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x). 知识点三

全称命题与特称命题的关系

全称命题的否定是特称命题. 特称命题的否定是全称命题. [思考]

(1)用自然语言描述的全称命题的否定形式惟一吗？

(2)对省略量词的命题怎样否定？

答案

(1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

(2)对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.

题型一

全称命题的否定

例1

写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解

(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)是全称命题，其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在. (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1

写出下列全称命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解

(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. 2(4)綈p：存在实数x0，使得x0＋1<0. 题型二

特称命题的否定

例2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形. 解

(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假). (2) 綈p：所有的素数都不是奇数.(假). (3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假). 反思与感悟

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 跟踪训练2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3. 解

(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题. 题型三

特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解

(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 反思与感悟

对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min. 跟踪训练3

已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明

当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)解

∵f(x)≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

a<0，a<0，∴即

Δ≤0，4＋12a≤0，

1解得a≤－，

31即实数a的取值范围是(－∞，－]. 3

1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是(

) A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

答案

C 解析

命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根. 2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则(

) A.綈p：∀x∈A,2x∈B

B.綈p：∀x∉A,2x∉B

C.綈p：∃x∉A,2x∈B

答案

D D.綈p：∃x∈A,2x∉B

解析

命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. 3.对下列命题的否定说法错误的是(

) A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形

D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100. 答案

C

解析

“有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 4.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(

) A.∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0 B.∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0 C.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0 D.∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0 答案

C 解析

全称命题的否定是特称命题. 全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0. 5.命题“零向量与任意向量共线”的否定为__________________________. 答案

有的向量与零向量不共线

解析

命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题“有的向量与零向量不共线”.

1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.

一、选择题

1.下列命题中，为真命题的全称命题是(

) A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0 B.菱形的两条对角线相等

C.∃x，x2＝x

D.对数函数在定义域上是单调函数

答案

D 解析

A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命

题；B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，所以选D. 2.下列命题中的假命题是(

) A.∀x∈R,2x1>0

－B.∀x∈N*，(x－1)2>0 D.∃x0∈R，tan x0＝2 C.∃x0∈R，lg x0<1

答案

B 解析

A中命题是全称命题，易知2x1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x－＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题. 3.已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈p为(

) A.∃x0≤0，使得(x0＋1)e0≤1 B.∃x0>0，使得(x0＋1)e0≤1 C.∀x>0，总有(x＋1)ex≤1 D.∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1 答案

B 解析

“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋1)e0≤1”.故选B. 4.下列特称命题是假命题的是(

) A.存在实数a，b，使ab＝0；

B.有些实数x，使得|x＋1|<1；

C.存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

1D.有些实数x，使得()x<0. 2答案

D 5.下列命题既是特称命题，又是真命题的是(

) A.两个无理数的和必是无理数

1B.存在一个实数x，使＝0 xC.至少有一个实数x，使x2<0 D.有个实数的倒数等于它本身

答案

D 1解析

A项，为全称命题；B项，是不能为零的，故B为假命题；C项，x2≥0，故不存在x实数x使x2<0，故C为假命题；D项，当实数为1或－1时可满足题意，故D为真命题. 6.命题“存在x0∈R,20≤0”的否定是(

) xxxx

A.不存在x∈R,2x>0 B.存在x0∈R,20≥0 C.对任意的x∈R,2x≤0 D.对任意的x∈R,2x>0 答案

D 解析

特称命题的否定是全称命题. 37.命题“∃x0∈∁RQ，x0∈Q”的否定是(

) xA.∃x0D∈∁RQ，x30∈Q

C.∀xD∈∁RQ，x3∈Q

答案

D 解析

特称命题的否定是全称命题. B.∃x0∈∁RQ，x30D∈Q

D.∀x∈∁RQ，x3D∈Q

“∃”的否定是“∀”，x3∈Q的否定是x3D∈/Q. 3命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，xD∈/Q”，故应选D. 8.已知命题p：∃x0∈R，x0－2>lg x0，命题q：∀x∈R，sin x

) A.命题p∨q是假命题

B.命题p∧q是真命题

C.命题p∧(綈q)是真命题

D.命题p∨(綈q)是假命题

答案

C 解析

对于命题p：取x＝10，则有10－2>lg 10，

即8>1，故命题p为真命题；

ππ对于命题q，取x＝－，则sin x＝sin(－)＝－1，

22此时sin x>x，故命题q为假命题，

因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，

命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题，

故选C. 二、填空题

9.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________________. 答案

存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3 解析

由定义知命题的否定为“存在x0∈R，使得|x0－2|＋|x0－4|≤3”.

10.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是________________. 答案

有些函数没有奇偶性

解析

命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有奇偶性. 11.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________. 答案

[3,8) 解析

因为p(1)是假命题，

所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是[3,8). 三、解答题

12.已知命题p：∀x∈R,4x－2x1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围. ＋解

∵綈p是假命题，

∴p是真命题. 也就是∀x∈R，有m＝－(4x－2x1)，

＋令f(x)＝－(4x－2x1)＝－(2x－1)2＋1，

＋∴对任意x∈R，f(x)≤1. ∴m的取值范围是(－∞，1]. 213.已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x0＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围. 解

2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0. 若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，

则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立. 当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；

当m≠0时，由m<0且Δ＝4－4m2<0，

所以m<－1. 若q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0为真，

则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，

所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2. 又p∧q为真，故p，q均为真命题. 所以m<－1且m≥－2，

所以m的取值范围为－2≤m<－1.