3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录与评析

直线的倾斜角和斜率

云南楚雄第一中学

方

雷

3.1.1

倾斜角与斜率一．教材依据

人民教育出版社２００4年5月第一版，普通高中数学标准实验教科书必修二第三章第一节《直线的倾斜角和斜率》

二．设计思想

１．内容分析及学法指导：

步研究直线方程的需要，引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，推导了已知直线上任意两点坐标的直线斜率公式，给出了方向向量的概念。本节内容遵循由浅及深的学习规律，体现了由特殊到一般的研究方法。

２．设计理念

根据建构主义理论，结合我校学生基础较好，本节内容相对简单等因素，设计采用在教师指导下的、以学习者为中心的自学指导式学习方法。

在直线倾斜角和斜率学习过程中，利用它们与三角函数知识的联系，对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析，以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口，教师只做适当的总结和点评。

三．教学目标1．知识与技能（1）正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）理解直线倾斜角的唯一性.（3）理解直线斜率的存在性.（4）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法.3．情感、态度与价值观（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.四．教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.五．教学方法教学环节

教学内容

我们知道，经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？师生互动

学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P.（2）它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题. 设计意图

提出问题引入

设疑激趣导入课题

直线的倾斜角的概念. 1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0. 教师提问：倾斜角的取值范围是什么？0180概念形成

当直线l与x轴重合时90

（由学生结合图形回答）

因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.y a b c 教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论.一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素. 概念深化

O x 通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角. 2．直线的斜率教师提问：（由学生讨论后一条直线的倾斜角（回答）≠90°）的正切值叫做这条直线（1）当直线l与x轴平行的斜率.斜率常用小写字母k表或重合时，k为多少？

示，即ktan.k = tan0°= 0 由此可知，一条直线l的倾（2）当直线l与x轴垂直斜角一定存在，但是斜率k时，k还存在吗？

不一定存在. 例如= 45°时= 90°，k不存在

k = tan45°= 1= 135°时

k

= tan135°= –1

概念形成

设疑激发学生思考得出结论

概念辨析

教师提问：

关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

①．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

②．平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

③．两直线的倾斜角相等，它设疑、

激发思考、辨析概念

们的斜率也相等。

④．直线斜率的范围是(－∞，＋∞)。

当∈[0,)∪(,)时，随22y着的增大直线斜率是否不断增大？

当∈[0,2)，随着增大直线斜率不断增大；当O2∈x(,)，随着增大直线斜率2不断增大。但是当∈[0,2)疑难点评

∪(2,)时，随着的增大直线斜率不断增大却是一错误结论。原因在于正切函数设疑、

激发思考、辨析概念、深化结论

ytan在区间[0,)内为2单调增函数，在区间(2,)内也是单调增函数，但在[0,2)∪(,)区间内，却不具有单调2性。

教师提出问题：

yy1给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，k2

x2x1y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标对于上面的斜率公式要注来表示直线P1、P2的斜率？

意下面四点：

可用计算机作动画演示：（1）当x1 = x2时，公式右直线P1P2的四种情况，并引导借助多媒边无意义，直线的斜率不存在，学生如何作辅助线，共同完成体演示让倾斜角= 90°，直线与x轴垂斜率公式的推导. 学生亲自直；

体会斜率（2）k与P1、P2的顺序无公式的推关，即y1、y2和x1、x2在公式中导过程. 的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

（4）当y1 = y2时，斜率k = 3．直线的斜率公式

变式结论

0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合. （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 例1

已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线，图略）

分析：已知两点坐标，而且x1

≠

x2，由斜率公式代入即可求得k的值；

而当ktan0时，倾斜角是钝角；

而当ktan0时，倾斜角是锐角；

而当ktan0时，倾斜角是0°. 例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，–1，2及–3的直线a，b，c，1. 分析：要画出经过原点的直线a，只要再找出a上的另个一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定；或者k = tan=1是特殊值，所以也可以以原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的一边，在x轴的上方作45°的角，再把所作的这一边反向延长成直线即可. （1）直线的倾斜角和斜率的概念. （2）直线的斜率公式. 布置作业

见习案3.1第一课时

学生分析求解

，教师板书

例1

略解：直线AB的斜率k1 = 1/7＞0，所以它的倾斜角是锐角. 直线BC的斜率k2 = –0.5＜0，所以它的倾斜角是锐角.

例2

略解：设直线a上的另个一点M的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1 = (y

– 0)/(x

– 0) 所以

x = y

可令x = 1，则y = 1，于是点M的坐标为(1，1).此时过原点和点M(1，1)，可作直线a. 同理，可作直线b，c，1.（用计算机作动画演示画直线过程）

课堂练习：P91 1题、2题、3题、4题. 应用举例

通过应用进一步理解倾斜角，斜率的有关定义

归纳总结

师生共同总结——交流——完善

由学生独立完成

引导学生学会自己总结

巩固深化

课后作业

备选例题

例1

求下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角（解略）。

（1）(1，1)，(2，4)；

（2）(–3，5)，(0，2)；

（3）(2，3)，(2，5)；

（4）(3，–2)，(6，–2)

例2

已知点P(3,1)点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则Q点的坐标为

。

例3 直线l1的倾斜角1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率（解略）。