习题2.1教学设计思路

2．1 椭圆

2．1.1

椭圆及其标准方程

●三维目标

1.知识与技能

(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；

(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．

2．过程与方法

(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；

(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；

(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．

●重点、难点

重点：椭圆定义及其标准方程．

难点：椭圆标准方程的推导过程．

椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.错误!⇒错误!⇒错误!

(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；

x2y2(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1、F2，过F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF11625的周长为________．

【思路探究】

(1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF1的周长？

【自主解答】

(1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2. (2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a，

∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝20，

∴△ABF1的周长为20. 【答案】

(1)线段F1F2

(2)20

1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0，c＞0，且a、c为常数．

当a＞c时，集合P为椭圆上点的集合；

当a＝c时，集合P为线段上点的集合；

当a＜c时，集合P为空集．

因此，只有|F1F2|＜2a时，动点M的轨迹才是椭圆．

2．注意定义的双向运用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(a＞|F1F2|)，则点P的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a.

x2y2椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于(

) 259A．2

C．8

B．4

3D.

2

1【解析】

如图，F2为椭圆右焦点，连MF2，则ON是△F1MF2的中位线，∴|ON|＝|MF2|，

2

又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，

∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4. 【答案】

B

求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．

【思路探究】

(1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？

【自主解答】

(1)∵椭圆的焦点在x轴上，

x2y2∴设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab∴2a＝5＋42＋

5－42＝10，

∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，

x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 259(2)法一

当椭圆的焦点在x轴上时，

x2y2设所求椭圆的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，

∴01a＋b＝1.2240＋＝1，a2b2

a＝2，则

b＝1.

x22∴所求椭圆的方程为：＋y＝1；

4当椭圆的焦点在y轴上时，

y2x2设方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，

a＋b＝1，∴10a＋b＝1.222204a＝1，则与a＞b矛盾，故舍去．

b＝2.

x22综上可知，所求椭圆的标准方程为＋y＝1. 4

法二

设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点，

4m＝1，m＝4，∴∴n＝1，

1n＝1，

x22综上可知，所求椭圆方程为＋y＝1. 4

1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a2、b2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．

2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)和焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．

本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．

【解】

设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1 (m＞0，n＞0，m≠n)，

12m＋n＝1，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得

3m＋4n＝1，

解得1n＝5，

1m＝，15

x2y2故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 155

求与椭圆有关的轨迹方程

已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，垂→→足为P′，点M在PP′上，并且PM＝2MP，求点M的轨迹．

【思路探究】

设动点Mx，y，Px0，y0→找M，P的关系→用点M坐标表示点P坐标→代入圆方程→得点M轨迹

【自主解答】

设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y.

∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，

2∴x0＋y20＝9. x22将x0＝x，y0＝3y代入得x＋9y＝9，即＋y＝1. 922x22∴点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆＋y＝1. 9

1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：

有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．

2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：

(1)设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′)；

x′＝φ1x，y，(2)找出P、Q之间坐标的关系，并表示为

y′＝φ2x，y；

(3)将x′，y′代入f(x，y)＝0，即得所求轨迹方程．

x2y2设A、B是椭圆＋＝1与x轴的左、右两个交点，P是椭圆上一个动点，试求AP2516中点M的轨迹方程．

5，x＝x－2【解】

设P(x，y)，AP的中点M(x，y)，则yy＝2，0000x2y2入椭圆方程＋＝1，

251622x＋5y2得＋＝1，

2542x＋52y2所以AP中点M的轨迹方程是＋＝1. 254

x0＝2x＋5，即代y0＝2y，

已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．

【思路探究】

(1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC的周长为18能否得到A到B、C的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？

【自主解答】

以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．

由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．

由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，

得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8. 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．

由a＝5，c＝4，得b2＝9. x2y2所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．

259

1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A的轨迹方程，解答时不要漏掉y≠0这一条件．

2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．

11已知A(－，0)，B是圆F：(x－)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线22交BF于P点，则动点P的轨迹方程为________．

【解析】

如图，依题意知|PA|＝|PB|，所以|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2，所以点P11y212的轨迹为以A(－，0)，F(，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x＋2＝1，又因为c＝，a22b234＝1，所以b2＝a2－c2＝，从而所求的动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1. 434【答案】

x2＋y2＝1 3

忽略椭圆标准方程中a＞b＞0的条件致误

x2y2

方程2＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围．

mm－12x2y21【错解】

方程2＋则m2＜(m－1)2，解得m＜，2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，mm－12

1所以实数m的取值范围是(－∞，)．

2【错因分析】

错解只注意了焦点在y轴上，而没有考虑m2＞0且(m－1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．

x2y2【防范措施】

椭圆的焦点在x轴上时，其方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，焦点在y轴上aby2x2时，其方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，应用时一定要注意条件a＞b＞0，否则极易将焦点位置ab弄错．

m＞0，22xy2【正解】

方程2＋2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m－1＞0，mm－1m－12＞m2，2

解得m≠1，1m＜2.

m≠0，

1故实数m的取值范围是(－∞，0)∪(0，)．

2

1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．

2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c. 3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．

4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．

x2y21．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(

) 2516A．10

B．8

C．5

D．4 【解析】

由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10. 【答案】

A x2y22．椭圆＋＝1的焦点坐标是(

) 1625A．(±4,0)

C．(±3,0)

B．(0，±4) D．(0，±3)

【解析】

∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．

【答案】

D 3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(

) x2y2A.＋＝1

10036y2x2C.＋＝1

10036y2x2B.＋＝1 400336y2x2D.＋＝1 2012【解析】

由题意c＝8，a＝10且焦点在y轴上，∴b2＝a2－c2＝100－64＝36，∴方程y2x2为＋＝1. 10036【答案】

C 4．已知一椭圆标准方程中b＝3，c＝4，求此椭圆的标准方程．

【解】

∵b2＝9，c2＝16，∴a2＝b2＋c2＝25. ∵此椭圆的焦点不确定，

x2y2y2x2∴标准方程为＋＝1或＋＝1. 259259

一、选择题

1．已知平面内两定点A，B及动点P，设命题甲是：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

条件

【解析】

由椭圆定义知甲⇒/ 乙，但乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．

【答案】

B x2y22．设椭圆2＋2＝1(m＞1)上一点P到其左、右焦点的距离分别为3和1，则m＝mm－1(

) A．6

B．3

C．2

D．4 【解析】

由题意椭圆焦点在x轴上，则2m＝3＋1＝4，∴m＝2. 【答案】

C x2y23．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(

) 1612A．锐角三角形

B．直角三角形

D．既不充分也不必要

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形

【解析】

由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，不妨设|PF1|＞|PF2|，∵|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3，又∵|F1F2|＝2c＝4，∴△PF1F2为直角三角形．

【答案】

B x2y24．若方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(

) aa＋6A．a＞3

C．a＞3或a＜－2

2 2a＞a＋6，【解析】

∵椭圆的焦点在x轴上，∴

a＋6＞0，B．a＜－2 D．a＞3或－6＜a＜－

∴a＞3或－6＜a＜－2. 【答案】

D x2y25．(2013·天水高二检测)设集合A＝{1,2,3,4}，m、n∈A，则方程＋＝1表示焦点在xmn轴上椭圆的个数是(

) A．6

B．8

C．12

【解析】

∵椭圆焦点在x轴上，∴m＞n，因此，当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，共6种情况．

【答案】

A 二、填空题

x26．若方程＋ay2＝1表示椭圆，则实数a应满足的条件是________．

aa＞0，x2y2【解析】

将方程化为＋＝1，此方程表示椭圆须满足：1a1a≠，aa【答案】

a＞0且a≠1 x2y27．已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，且焦距为4，则实数m＝________. 10－mm－24【解析】

由题意，焦点在y轴上，焦距为4，则有m－2－(10－m)＝()2，解得m＝8. 2【答案】

8

解得a＞0且a≠1.

图2－1－1 8．(2013·临沂高二检测)如图2－1－1所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是________．

【解析】

∵折叠后的M与F重合，∴|PM|＝|PF|，又∵|PM|＋|PO|＝r，∴|PF|＋|PO|＝r＞|OF|，故点P的轨迹是以O、F为焦点的椭圆．

【答案】

椭圆

三、解答题

9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)过点A(622，3)和B(，1)的椭圆．

33x2y2(2)过点(－3,2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆．

94【解】

(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．

∵椭圆过点A(2622，3)和B(，1)，

3326＋n·3＝1，m·3∴22m·1＝1，3＋n·22

2

1解得m＝1，n＝. 9y2∴所求椭圆的标准方程为x＋＝1. 9x2y2(2)∵已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5. 94x2y2∴设所求椭圆方程为2＋2＝1. aa－5∵点(－3,2)在所求椭圆上，

94∴2＋2＝1. aa－5∴a2＝15. x2y2∴所求椭圆方程为＋＝1. 1510x2y210．已知椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，P是该椭圆上一点，且|PF1|＝4，求：

92(1)|PF2|的值；

(2)∠F1PF2的大小．

【解】

由题意知：a＝3，b2＝2，∴c＝a2－b2＝7. (1)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. (2)∵|F1F2|＝2c＝27，由余弦定理：

22＋42－2721cos∠F1PF2＝＝－，

22×2×4∴∠F1PF2＝120°. x2y211．已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，369并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程．

【解】

设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)．

x2y2x2y200∵点M在椭圆＋＝1上，∴＋＝1. 369369∵M是线段PP′的中点，

y∴x0＝x且y0＝. 2x＝x，0x2y2x2y200把代入＋＝1中，得＋＝1，

y3693636y＝02即x2＋y2＝36.